题目

求极限lim-x-tanx-|||--tan x.

求极限 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\tan x}{\tan x-\sin x}$ .

题目解答

解：

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\tan x}{\tan x-\sin x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\tan x}{\tan x\left(1-\cos x\right)}$

根据等价无穷小的替换， $x-\tan x\sim\frac{1}{3}x^3,\tan x\sim x,1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^2$

原式 $=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{3}x^3}{x\cdot\frac{1}{2}x^2}=\frac{2}{3}$