题目
设A是mathbb(m times n)矩阵,mA. 无解B. 有唯一解C. 有无穷多解D. 无法判断
设A是$\mathbb{m \times n}$矩阵,m< n,则线性方程组Ax=0解的情况下列选项那一项正确()
A. 无解
B. 有唯一解
C. 有无穷多解
D. 无法判断
题目解答
答案
C. 有无穷多解
解析
步骤 1：理解矩阵的秩
矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$ 是矩阵中线性无关的行或列的最大数目。对于 $m \times n$ 矩阵 $A$，其秩 $r(A)$ 满足 $r(A) \leq m$，因为矩阵的行数为 $m$，列数为 $n$，且 $m < n$。
步骤 2：分析齐次线性方程组的解
齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解情况取决于矩阵 $A$ 的秩。如果 $r(A) < n$，则方程组有非零解，即有无穷多解（包含零解）。
步骤 3：确定正确选项
由于 $m < n$，则 $r(A) \leq m < n$，因此 $r(A) < n$。根据齐次线性方程组的解的性质，方程组 $Ax = 0$ 有无穷多解。
矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$ 是矩阵中线性无关的行或列的最大数目。对于 $m \times n$ 矩阵 $A$，其秩 $r(A)$ 满足 $r(A) \leq m$，因为矩阵的行数为 $m$，列数为 $n$，且 $m < n$。
步骤 2：分析齐次线性方程组的解
齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解情况取决于矩阵 $A$ 的秩。如果 $r(A) < n$，则方程组有非零解，即有无穷多解（包含零解）。
步骤 3：确定正确选项
由于 $m < n$，则 $r(A) \leq m < n$，因此 $r(A) < n$。根据齐次线性方程组的解的性质，方程组 $Ax = 0$ 有无穷多解。