【例3.1.8】设函数f(x)=(e^x-1)(e^2x-2)...(e^nx-n)，其中n为正整数f'(0)=（）.A. (-1)^n-1(n-1)!B. (-1)^n(n-1)!C. (-1)^n-1n!D. (-1)^nn!

考查要点：本题主要考查导数的定义和乘积函数的导数计算，同时需要灵活运用极限的性质简化计算。

解题核心思路：

1. 分解函数：将函数$f(x)$拆分为$(e^x -1) \cdot g(x)$，其中$g(x)$为剩余因子的乘积。
2. 利用导数定义：通过$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$，将问题转化为计算$g(0)$。
3. 计算$g(0)$：直接代入$x=0$，求出各因子的值并相乘，注意符号和阶乘的规律。

破题关键点：

• 分离第一个因子：利用$(e^x -1)$在$x=0$处的泰勒展开特性，简化极限计算。
• 符号与阶乘规律：剩余因子在$x=0$处的值为$-1, -2, \dots, -(n-1)$，乘积需提取公因式$(-1)^{n-1}$。

步骤1：分解函数

将$f(x)$表示为：
$f(x) = (e^x - 1) \cdot g(x),$
其中$g(x) = (e^{2x} - 2)(e^{3x} - 3) \cdots (e^{nx} - n)$。

步骤2：应用导数定义

根据导数定义：
$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}.$
代入$f(x)$的分解形式：
$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1) \cdot g(x)}{x}.$

步骤3：简化极限

利用$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$，得：
$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \cdot g(x) = 1 \cdot g(0) = g(0).$

步骤4：计算$g(0)$

将$x=0$代入$g(x)$：
$g(0) = (-1)(-2)(-3) \cdots (-(n-1)) = (-1)^{n-1} \cdot (n-1)!.$