题目

13.设函数f(x)在x=4处连续，且lim_(xto1)(f(5-x)-4)/(x-1)=-4，则曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线方程是____.

13.设函数f(x)在x=4处连续，且$\lim_{x\to1}\frac{f(5-x)-4}{x-1}=-4$，则曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线方程是____.

题目解答

答案

为了找到曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (4, f(4)) $ 处的切线方程，我们需要确定 $ f(4) $ 的值和 $ f(x) $ 在 $ x = 4 $ 处的导数 $ f'(4) $。 首先，我们分析给定的极限： \[ \lim_{x \to 1} \frac{f(5-x) - 4}{x-1} = -4. \] 设 $ u = 5 - x $。当 $ x \to 1 $ 时，$ u \to 4 $。因此，极限可以重写为： \[ \lim_{u \to 4} \frac{f(u) - 4}{4 - u} = -4. \] 这可以进一步简化为： \[ \lim_{u \to 4} \frac{f(u) - 4}{u - 4} = 4. \] 根据导数的定义，我们认识到： \[ f'(4) = \lim_{u \to 4} \frac{f(u) - f(4)}{u - 4}. \] 由于 $ f(x) $ 在 $ x = 4 $ 处连续，$ f(4) = 4 $。因此，我们有： \[ f'(4) = 4. \] 现在，我们知道 $ f(4) = 4 $ 和 $ f'(4) = 4 $。在点 $ (4, f(4)) $ 处的切线方程由下式给出： \[ y - f(4) = f'(4)(x - 4). \] 将 $ f(4) = 4 $ 和 $ f'(4) = 4 $ 代入，我们得到： \[ y - 4 = 4(x - 4). \] 简化这个方程，我们有： \[ y - 4 = 4x - 16, \] \[ y = 4x - 12. \] 因此，曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (4, f(4)) $ 处的切线方程是： \[ \boxed{4x - y - 12 = 0}. \]

解析

本题主要考查函数连续性、导数的定义以及切线方程的求解。解题的关键在于通过变量代换将给定的极限式子转化为导数的定义形式，进而求出函数在某点的值和该点的导数值，最后利用点斜式求出切线方程。

  1. 分析极限式子并进行变量代换：
    • 已知$\lim_{x\to1}\frac{f(5 - x) - 4}{x - 1} = -4$，设$u = 5 - x$。
    • 当$x\to1$时，$u = 5 - x\to5 - 1 = 4$。
    • 同时$x = 5 - u$，那么$x - 1 = 5 - u - 1 = 4 - u$。
    • 所以原极限$\lim_{x\to1}\frac{f(5 - x) - 4}{x - 1}$可转化为$\lim_{u\to4}\frac{f(u) - 4}{4 - u}$。
  2. 根据极限性质求出$f(4)$的值：
    • 因为函数$f(x)$在$x = 4$处连续，根据函数连续性的定义，$\lim_{u\to4}f(u)=f(4)$。
    • 对于$\lim_{u\to4}\frac{f(u) - 4}{4 - u} = -4$，若$f(4)\neq4$，则$\lim_{u\to4}(f(u) - 4)\neq0$，而$\lim_{u\to4}(4 - u)=0$，此时极限$\lim_{u\to4}\frac{f(u) - 4}{4 - u}$为无穷大，与已知极限值$-4$矛盾。
    • 所以$f(4)=4$。
  3. 根据导数定义求出$f^\prime(4)$的值：
    • 由导数的定义可知$f^\prime(4)=\lim_{u\to4}\frac{f(u) - f(4)}{u - 4}$。
    • 因为$f(4)=4$，所以$f^\prime(4)=\lim_{u\to4}\frac{f(u) - 4}{u - 4}$。
    • 又因为$\lim_{u\to4}\frac{f(u) - 4}{4 - u} = -4$，则$\lim_{u\to4}\frac{f(u) - 4}{u - 4}=-\lim_{u\to4}\frac{f(u) - 4}{4 - u}=-(-4)=4$，即$f^\prime(4)=4$。
  4. 根据点斜式求出切线方程：
    • 曲线$y = f(x)$在点$(x_0,y_0)$处的切线方程的点斜式为$y - y_0 = f^\prime(x_0)(x - x_0)$。
    • 已知$x_0 = 4$，$y_0 = f(4)=4$，$f^\prime(4)=4$，代入点斜式可得$y - 4 = 4(x - 4)$。
    • 展开式子得$y - 4 = 4x - 16$。
    • 移项化为一般式为$4x - y - 12 = 0$。