题目
判断题（共5题，10.0分）1.（2.0分）函数z=f(x,y)在点(x_(0),y_(0))处可导，则点(x_(0),y_(0))是z=f(x,y)的连续点.A 对B 错
判断题（共5题，10.0分）
1.（2.0分）函数z=f(x,y)在点$(x_{0},y_{0})$处可导，则点$(x_{0},y_{0})$是z=f(x,y)的连续点.
A 对
B 错
题目解答
答案
为了判断函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可导是否意味着该点是函数的连续点，我们需要理解可导性和连续性之间的关系。
### 逐步解答：
1. **可导性的定义：**
- 对于函数 $ z = f(x, y) $ 要在点 $(x_0, y_0)$ 处可导，偏导数 $ f_x(x_0, y_0) $ 和 $ f_y(x_0, y_0) $ 必须存在，且函数在该点必须满足可微分的条件。这意味着存在一个线性函数，它在 $(x_0, y_0)$ 附近近似 $ f(x, y) $ 与 $ f(x_0, y_0) $ 之间的差，误差项与 $(x, y)$ 与 $(x_0, y_0)$ 之间距离的比值在 $(x, y) \to (x_0, y_0)$ 时趋于零。
2. **连续性的定义：**
- 函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $(x_0, y_0)$ 处连续，如果 $\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)$。这意味着当 $(x, y)$ 接近 $(x_0, y_0)$ 时，$ f(x, y) $ 的值接近 $ f(x_0, y_0) $。
3. **可导性和连续性之间的关系：**
- 如果函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可导，那么它在该点必须连续。这是因为可微分的条件意味着函数在 $(x_0, y_0)$ 附近的值可以被线性函数近似，误差项在 $(x, y) \to (x_0, y_0)$ 时趋于零。这保证了 $\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)$，即函数在 $(x_0, y_0)$ 处连续。
### 结论：
由于函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可导意味着函数在该点连续，因此该陈述是正确的。
答案是：$\boxed{A}$
解析
步骤 1：理解可导性的定义
- 函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可导，意味着偏导数 $ f_x(x_0, y_0) $ 和 $ f_y(x_0, y_0) $ 存在，且函数在该点满足可微分的条件。这意味着存在一个线性函数，它在 $(x_0, y_0)$ 附近近似 $ f(x, y) $ 与 $ f(x_0, y_0) $ 之间的差，误差项与 $(x, y)$ 与 $(x_0, y_0)$ 之间距离的比值在 $(x, y) \to (x_0, y_0)$ 时趋于零。
步骤 2：理解连续性的定义
- 函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $(x_0, y_0)$ 处连续，如果 $\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)$。这意味着当 $(x, y)$ 接近 $(x_0, y_0)$ 时，$ f(x, y) $ 的值接近 $ f(x_0, y_0) $。
步骤 3：可导性和连续性之间的关系
- 如果函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可导，那么它在该点必须连续。这是因为可微分的条件意味着函数在 $(x_0, y_0)$ 附近的值可以被线性函数近似，误差项在 $(x, y) \to (x_0, y_0)$ 时趋于零。这保证了 $\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)$，即函数在 $(x_0, y_0)$ 处连续。
- 函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可导，意味着偏导数 $ f_x(x_0, y_0) $ 和 $ f_y(x_0, y_0) $ 存在，且函数在该点满足可微分的条件。这意味着存在一个线性函数，它在 $(x_0, y_0)$ 附近近似 $ f(x, y) $ 与 $ f(x_0, y_0) $ 之间的差，误差项与 $(x, y)$ 与 $(x_0, y_0)$ 之间距离的比值在 $(x, y) \to (x_0, y_0)$ 时趋于零。
步骤 2：理解连续性的定义
- 函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $(x_0, y_0)$ 处连续，如果 $\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)$。这意味着当 $(x, y)$ 接近 $(x_0, y_0)$ 时，$ f(x, y) $ 的值接近 $ f(x_0, y_0) $。
步骤 3：可导性和连续性之间的关系
- 如果函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可导，那么它在该点必须连续。这是因为可微分的条件意味着函数在 $(x_0, y_0)$ 附近的值可以被线性函数近似，误差项在 $(x, y) \to (x_0, y_0)$ 时趋于零。这保证了 $\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)$，即函数在 $(x_0, y_0)$ 处连续。