设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布,令 =cx+d(cneq 0), 试求随-|||-机变量Y的密度函数.

考查要点：本题主要考查均匀分布随机变量的线性变换后的概率密度函数求解，涉及概率密度函数的变量变换方法。

解题核心思路：

1. 均匀分布的性质：X在区间[a, b]上均匀分布，其密度函数为常数$\frac{1}{b-a}$。
2. 线性变换的性质：Y = cX + d（c ≠ 0）的密度函数可通过变量代换和绝对值导数因子计算。
3. 区间调整：当c > 0时，Y的区间为[ca + d, cb + d]；当c < 0时，区间方向反转为[cb + d, ca + d]。
4. 缩放因子：密度函数需乘以$\frac{1}{|c|}$以保持概率积分归一化。

破题关键点：

• 变量代换：通过Y = cX + d得到X关于Y的表达式，代入原密度函数。
• 区间分析：根据c的正负确定Y的取值范围。
• 绝对值处理：确保密度函数始终为非负值。

步骤1：确定X的密度函数

X服从[a, b]上的均匀分布，其密度函数为：
$f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$

步骤2：变量代换与导数计算

由Y = cX + d得反函数：
$X = \frac{Y - d}{c}.$
导数绝对值为：
$\left| \frac{d}{dy} \left( \frac{y - d}{c} \right) \right| = \frac{1}{|c|}.$

步骤3：代入密度函数公式

根据概率密度函数的变量变换公式：
$f_Y(y) = f_X\left( \frac{y - d}{c} \right) \cdot \frac{1}{|c|}.$

步骤4：分析Y的取值范围

• 当c > 0时：
  X ∈ [a, b] ⇒ Y ∈ [ca + d, cb + d].
  此时，$f_X\left( \frac{y - d}{c} \right) = \frac{1}{b-a}$，故：
  $f_Y(y) = \frac{1}{c(b-a)}, \quad ca + d \leq y \leq cb + d.$

• 当c < 0时：
  X ∈ [a, b] ⇒ Y ∈ [cb + d, ca + d]（区间方向反转）。
  此时，$f_X\left( \frac{y - d}{c} \right) = \frac{1}{b-a}$，故：
  $f_Y(y) = \frac{1}{-c(b-a)} = -\frac{1}{c(b-a)}, \quad cb + d \leq y \leq ca + d.$

步骤5：综合结果

最终，Y的密度函数为：
$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{c(b-a)}, & ca + d \leq y \leq cb + d \quad (c > 0), \\-\frac{1}{c(b-a)}, & cb + d \leq y \leq ca + d \quad (c < 0), \\0, & \text{其他}.\end{cases}$