题目
二维连续型随机变量 (X,Y)的概率密度是 f(x,y)，则 (X,Y)的联合分布函数是().A. int_(y)^+infty int_(-infty)^+infty f(u,v), du , dvB. int_(-infty)^y int_(-infty)^+infty f(u,v), du , dvC. int_(-infty)^x int_(-infty)^+infty f(u,v), dv , duD. int_(-infty)^x int_(-infty)^y f(u,v), du , dv
二维连续型随机变量 $(X,Y)$的概率密度是 $f(x,y)$，则 $(X,Y)$的联合分布函数是().
A. $\int_{y}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u,v)\, du \, dv$
B. $\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u,v)\, du \, dv$
C. $\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u,v)\, dv \, du$
D. $\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u,v)\, du \, dv$
题目解答
答案
D. $\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u,v)\, du \, dv$
解析
步骤 1：理解联合分布函数的定义
二维随机变量$(X, Y)$的联合分布函数$F(x, y)$定义为随机变量$X$小于或等于$x$且随机变量$Y$小于或等于$y$的概率。数学上，这表示为： \[ F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y) \] 对于连续型随机变量，这个概率可以通过在区域$-\infty < u \leq x$和$-\infty < v \leq y$上积分联合概率密度函数$f(u, v)$来找到。因此，联合分布函数$F(x, y)$由下式给出： \[ F(x, y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u, v) \, dv \, du \] 或者等价地（由于积分的顺序可以互换）： \[ F(x, y) = \int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f(u, v) \, du \, dv \]
步骤 2：分析选项
A. $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u, v) \, du \, dv$ 这个选项表示在 entire $(u, v)$-平面上的积分，这给出了总概率，即1。这不是联合分布函数。 B. $\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u, v) \, du \, dv$ 这个选项表示在区域$-\infty < u < +\infty$和$-\infty < v \leq y$上的积分。这给出了$Y \leq y$的概率，但没有考虑$X$的约束。这不是联合分布函数。 C. $\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u, v) \, dv \, dv$ 这个选项由于在$v$上重复积分而无效。这不是联合分布函数。 D. $\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u, v) \, du \, dv$ 这个选项表示在区域$-\infty < u \leq x$和$-\infty < v \leq y$上的积分。这是联合分布函数的正确表达式。
二维随机变量$(X, Y)$的联合分布函数$F(x, y)$定义为随机变量$X$小于或等于$x$且随机变量$Y$小于或等于$y$的概率。数学上，这表示为： \[ F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y) \] 对于连续型随机变量，这个概率可以通过在区域$-\infty < u \leq x$和$-\infty < v \leq y$上积分联合概率密度函数$f(u, v)$来找到。因此，联合分布函数$F(x, y)$由下式给出： \[ F(x, y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u, v) \, dv \, du \] 或者等价地（由于积分的顺序可以互换）： \[ F(x, y) = \int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f(u, v) \, du \, dv \]
步骤 2：分析选项
A. $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u, v) \, du \, dv$ 这个选项表示在 entire $(u, v)$-平面上的积分，这给出了总概率，即1。这不是联合分布函数。 B. $\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u, v) \, du \, dv$ 这个选项表示在区域$-\infty < u < +\infty$和$-\infty < v \leq y$上的积分。这给出了$Y \leq y$的概率，但没有考虑$X$的约束。这不是联合分布函数。 C. $\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(u, v) \, dv \, dv$ 这个选项由于在$v$上重复积分而无效。这不是联合分布函数。 D. $\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u, v) \, du \, dv$ 这个选项表示在区域$-\infty < u \leq x$和$-\infty < v \leq y$上的积分。这是联合分布函数的正确表达式。