8.设lim_(xto0)(sin2x+xf(x))/(x^3)=1，则lim_(xto0)(2cos x+f(x))/(x^2)=（）.A. 0B. -(2)/(3)C. (4)/(3)D. ∞

本题考查极限的计算以及等价无穷小和洛必达法则的运用。解题的关键思路是通过已知极限式子，结合等价无穷小和洛必达法则来求解目标极限。

1. 已知$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x + xf(x)}{x^{3}} = 1$，因为当$x\to0$时，$\sin2x=2x-\frac{(2x)^{3}}{3!}+\frac{(2x)^{5}}{5!}-\cdots$，所以$\sin2x = 2x+o(x^{2})$（$o(x^{2})$表示$x^{2}$的高阶无穷小）。
   • 则$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x + xf(x)}{x^{3}}=\lim_{x\to0}\frac{2x + xf(x)+o(x^{2})}{x^{3}} = 1$。
   • 分子分母同时除以$x$，得到$\lim_{x\to0}\frac{2 + f(x)+\frac{o(x^{2})}{x}}{x^{2}} = 1$。
   • 当$x\to0$时，$\frac{o(x^{2})}{x}\to0$，所以$\lim_{x\to0}\frac{2 + f(x)}{x^{2}} = 1$。
2. 对$\frac{2\cos x + f(x)}{x^{2}}$进行变形：
   • $\frac{2\cos x + f(x)}{x^{2}}=\frac{2 + f(x)+2(\cos x - 1)}{x^{2}}$。
   • 则$\lim_{x\to0}\frac{2\cos x + f(x)}{x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{2 + f(x)}{x^{2}}+\lim_{x\to0}\frac{2(\cos x - 1)}{x^{2}}$。
3. 分别计算两个极限：
   • 由前面计算可知$\lim_{x\to0}\frac{2 + f(x)}{x^{2}} = 1$。
   • 对于$\lim_{x\to0}\frac{2(\cos x - 1)}{x^{2}}$，根据等价无穷小，当$x\to0$时，$\cos x - 1=-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots$，即$\cos x - 1\sim-\frac{1}{2}x^{2}$。
   • 所以$\lim_{x\to0}\frac{2(\cos x - 1)}{x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{2\times(-\frac{1}{2}x^{2})}{x^{2}}$。
   • 化简可得$\lim_{x\to0}\frac{-x^{2}}{x^{2}}=-1$。
4. 计算最终结果：
   • $\lim_{x\to0}\frac{2\cos x + f(x)}{x^{2}}=1+\left(-1\right)+\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$。