(本小题10分)设二维离散型随机变量( X ,Y ) 联合分布列为Y123X11 6 1 9 1 1821 3 ab其中a, b 为某待定常数。(1)求在Y  2 的条件下 X 的条件分布; (2)问a, b 取何值时, X与Y 独立?

步骤 1：计算P(Y=2)
根据联合分布列，计算P(Y=2)的值。
\[ P(Y=2) = \frac{1}{9} + a \]

步骤 2：计算条件概率P(X=1|Y=2)
根据条件概率的定义，计算P(X=1|Y=2)。
\[ P(X=1|Y=2) = \frac{P(X=1, Y=2)}{P(Y=2)} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{9} + a} \]

步骤 3：计算条件概率P(X=2|Y=2)
根据条件概率的定义，计算P(X=2|Y=2)。
\[ P(X=2|Y=2) = \frac{P(X=2, Y=2)}{P(Y=2)} = \frac{a}{\frac{1}{9} + a} \]

步骤 4：计算a和b的值，使得X与Y独立
根据独立性条件，计算a和b的值。
\[ P(X=1, Y=1) = P(X=1)P(Y=1) \]
\[ P(X=1, Y=2) = P(X=1)P(Y=2) \]
\[ P(X=1, Y=3) = P(X=1)P(Y=3) \]
\[ P(X=2, Y=1) = P(X=2)P(Y=1) \]
\[ P(X=2, Y=2) = P(X=2)P(Y=2) \]
\[ P(X=2, Y=3) = P(X=2)P(Y=3) \]

步骤 5：计算P(X=1)和P(X=2)
\[ P(X=1) = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{1}{3} \]
\[ P(X=2) = \frac{1}{3} + a + b \]

步骤 6：计算P(Y=1)、P(Y=2)和P(Y=3)
\[ P(Y=1) = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \]
\[ P(Y=2) = \frac{1}{9} + a \]
\[ P(Y=3) = \frac{1}{18} + b \]

步骤 7：根据独立性条件求解a和b
\[ \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \]
\[ \frac{1}{9} = \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{9} + a \right) \]
\[ \frac{1}{18} = \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{18} + b \right) \]
\[ \frac{1}{3} = \left( \frac{1}{3} + a + b \right) \times \frac{1}{2} \]
\[ a = \left( \frac{1}{3} + a + b \right) \times \left( \frac{1}{9} + a \right) \]
\[ b = \left( \frac{1}{3} + a + b \right) \times \left( \frac{1}{18} + b \right) \]

步骤 8：求解a和b
\[ a = \frac{1}{9} \]
\[ b = \frac{1}{18} \]