12、设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)=}e^-y,&x>0,y>x0,&其它,求：1)边缘概率密度；(8分)2)判断X与Y是否相互独立？(2分)3)P(X+Y≤1).(10分)

1. **边缘概率密度** - $ f_X(x) $：对 $ y $ 积分，范围为 $ y > x $ $$ f_X(x) = \int_x^\infty e^{-y} \, dy = e^{-x}, \quad x > 0 $$ - $ f_Y(y) $：对 $ x $ 积分，范围为 $ 0 < x < y $ $$ f_Y(y) = \int_0^y e^{-y} \, dx = y e^{-y}, \quad y > 0 $$ 2. **独立性判断** $ f(x, y) = e^{-y} $（$ x > 0, y > x $）， $ f_X(x) f_Y(y) = e^{-x} \cdot y e^{-y} = y e^{-(x+y)} $， 由于 $ f(x, y) \neq f_X(x) f_Y(y) $，故 **不独立**。 3. **概率计算** 积分区域：$ 0 < x < \frac{1}{2} $，$ x < y < 1-x $ $$ P\{X + Y \leq 1\} = \int_0^{\frac{1}{2}} \int_x^{1-x} e^{-y} \, dy \, dx = \int_0^{\frac{1}{2}} \left[ e^{-x} - e^{-(1-x)} \right] \, dx = 1 - 2e^{-\frac{1}{2}} + e^{-1} $$ \[ \boxed{ \begin{array}{ll} 1. & f_X(x) = e^{-x} \, (x > 0), \quad f_Y(y) = y e^{-y} \, (y > 0) \\ 2. & \text{不独立} \\ 3. & 1 - 2e^{-\frac{1}{2}} + e^{-1} \end{array} } \]