19. (4.0分) 若x_(1)是方程Ax=b的解，x_(2)是方程Ax=0的解，则( )是方程Ax=b的解(c∈R).A. x_(1)+cx_(2)B. cx_(1)+cx_(2)C. cx_(1)-cx_(2)D. cx_(1)+x_(2)

本题考查线性方程组解的性质。解题的关键在于利用已知条件$Ax_{1}=b$和$Ax_{2}=0$，通过线性方程组的运算规则，对每个选项进行验证，看哪个选项代入方程$Ax = b$后等式成立。

选项A

已知$x_{1}$是方程$Ax = b$的解，则$Ax_{1}=b$；$x_{2}$是方程$Ax = 0$的解，则$Ax_{2}=0$。
对于$x_{1}+cx_{2}$，将其代入方程$Ax$可得：
$A(x_{1}+cx_{2})$
根据矩阵乘法对于向量加法的分配律$A(\alpha+\beta)=A\alpha + A\beta$，上式可化为：
$A(x_{1}+cx_{2})=Ax_{1}+A(cx_{2})$
再根据矩阵乘法对于数乘的结合律$A(k\alpha)=kA\alpha$，进一步化为：
$Ax_{1}+A(cx_{2})=Ax_{1}+cAx_{2}$
把$Ax_{1}=b$，$Ax_{2}=0$代入上式得：
$Ax_{1}+cAx_{2}=b + c\times0=b$
所以$x_{1}+cx_{2}$是方程$Ax = b$的解。

选项B

对于$cx_{1}+cx_{2}$，将其代入方程$Ax$可得：
$A(cx_{1}+cx_{2})=A(cx_{1})+A(cx_{2})=cAx_{1}+cAx_{2}$
把$Ax_{1}=b$，$Ax_{2}=0$代入上式得：
$cAx_{1}+cAx_{2}=cb + c\times0=cb$
因为$c\in R$，当$c\neq1$时，$cb\neq b$，所以$cx_{1}+cx_{2}$不一定是方程$Ax = b$的解。

选项C

对于$cx_{1}-cx_{2}$，将其代入方程$Ax$可得：
$A(cx_{1}-cx_{2})=A(cx_{1})-A(cx_{2})=cAx_{1}-cAx_{2}$
把$Ax_{1}=b$，$Ax_{2}=0$代入上式得：
$cAx_{1}-cAx_{2}=cb - c\times0=cb$
因为$c\in R$，当$c\neq1$时，$cb\neq b$，所以$cx_{1}-cx_{2}$不一定是方程$Ax = b$的解。

选项D

对于$cx_{1}+x_{2}$，将其代入方程$Ax$可得：
$A(cx_{1}+x_{2})=A(cx_{1})+Ax_{2}=cAx_{1}+Ax_{2}$
把$Ax_{1}=b$，$Ax_{2}=0$代入上式得：
$cAx_{1}+Ax_{2}=cb + 0=cb$
因为$c\in R$，当$c\neq1$时，$cb\neq b$，所以$cx_{1}+x_{2}$不一定是方程$Ax = b$的解。