题目
一段导线先弯成图(a)所示形状,然后将同样长的导线再弯成图(b)所示形状。在导线通以电流I后,求两个图形中P点的磁感应强度之比。21-|||-PL l(a)21-|||-PL l(b)
一段导线先弯成图(a)所示形状,然后将同样长的导线再弯成图(b)所示形状。在导线通以电流I后,求两个图形中P点的磁感应强度之比。
(a)
(b)
题目解答
答案
解:
图中(a)可分解为5段电流。
处于同一直线的两段电流对P点的磁感应强度为零,其他三段在P点的磁感应强度方向相同。
长为l的两段在P点的磁感应强度为 
长为2l的一段在P点的磁感应强度为 
所以
图(b)中可分解为3段电流。
处于同一直线的两段电流对P点的磁感应强度为零,半圆弧在P点的磁感应强度为 
所以
两个图形中P点的磁感应强度之比
解析
步骤 1：分析图(a)中的电流分布
图(a)中导线可以分解为5段电流。其中，处于同一直线的两段电流对P点的磁感应强度为零，因此只需考虑其他三段电流在P点的磁感应强度。长为l的两段电流在P点的磁感应强度方向相同，大小为 ${B}_{1}=\dfrac {\sqrt {2}{\mu }_{0}I}{4\pi l}$。长为2l的一段电流在P点的磁感应强度大小为 ${B}_{2}=\dfrac {\sqrt {2}{\mu }_{0}I}{4\pi l}$。因此，图(a)中P点的磁感应强度为 $B={B}_{2}+{B}_{1}=\dfrac {\sqrt {2}{\mu }_{0}I}{2\pi l}$。
步骤 2：分析图(b)中的电流分布
图(b)中导线可以分解为3段电流。其中，处于同一直线的两段电流对P点的磁感应强度为零，因此只需考虑半圆弧在P点的磁感应强度。半圆弧在P点的磁感应强度大小为 ${B}_{2}'=\dfrac {\pi {\mu }_{0}I}{16l}$。因此，图(b)中P点的磁感应强度为 $B'={B}_{2}'=\dfrac {\pi {\mu }_{0}I}{16l}$。
步骤 3：计算两个图形中P点的磁感应强度之比
两个图形中P点的磁感应强度之比为 $\dfrac {B}{B'}=\dfrac {\dfrac {\sqrt {2}{\mu }_{0}I}{2\pi l}}{\dfrac {\pi {\mu }_{0}I}{16l}}=\dfrac {8\sqrt {2}}{{\pi }^{2}}$。
图(a)中导线可以分解为5段电流。其中，处于同一直线的两段电流对P点的磁感应强度为零，因此只需考虑其他三段电流在P点的磁感应强度。长为l的两段电流在P点的磁感应强度方向相同，大小为 ${B}_{1}=\dfrac {\sqrt {2}{\mu }_{0}I}{4\pi l}$。长为2l的一段电流在P点的磁感应强度大小为 ${B}_{2}=\dfrac {\sqrt {2}{\mu }_{0}I}{4\pi l}$。因此，图(a)中P点的磁感应强度为 $B={B}_{2}+{B}_{1}=\dfrac {\sqrt {2}{\mu }_{0}I}{2\pi l}$。
步骤 2：分析图(b)中的电流分布
图(b)中导线可以分解为3段电流。其中，处于同一直线的两段电流对P点的磁感应强度为零，因此只需考虑半圆弧在P点的磁感应强度。半圆弧在P点的磁感应强度大小为 ${B}_{2}'=\dfrac {\pi {\mu }_{0}I}{16l}$。因此，图(b)中P点的磁感应强度为 $B'={B}_{2}'=\dfrac {\pi {\mu }_{0}I}{16l}$。
步骤 3：计算两个图形中P点的磁感应强度之比
两个图形中P点的磁感应强度之比为 $\dfrac {B}{B'}=\dfrac {\dfrac {\sqrt {2}{\mu }_{0}I}{2\pi l}}{\dfrac {\pi {\mu }_{0}I}{16l}}=\dfrac {8\sqrt {2}}{{\pi }^{2}}$。