题目

10.设Σ是由曲面z=sqrt(x^2)+y^(2)与z=1所围成的圆锥面部分(不包含平面z=1上的边界)，计算曲面积分I=iint_(Sigma)((x+y+z+1)^2)/(sqrt(x^2)+y^(2))dS=____.

10.设Σ是由曲面$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$与z=1所围成的圆锥面部分(不包含平面z=1上的边界)，计算曲面积分$I=\iint_{\Sigma}\frac{(x+y+z+1)^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dS=$____.

题目解答

答案

为了计算曲面积分 $ I = \iint_{\Sigma} \frac{(x+y+z+1)^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} \, dS $，其中 $\Sigma$ 是由曲面 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 与 $ z = 1 $ 所围成的圆锥面部分（不包含平面 $ z = 1 $ 上的边界），我们首先需要将曲面积分转换为二重积分。曲面 $\Sigma$ 可以参数化为 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $。曲面的面积元素 $ dS $ 可以表示为： \[ dS = \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} \, dA, \] 其中 $ dA = dx \, dy $ 是 $ xy $-平面上的面积元素。这里， $ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} $ 和 $ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} $。因此， \[ dS = \sqrt{1 + \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right)^2 + \left( \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right)^2} \, dA = \sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2}} \, dA = \sqrt{2} \, dA. \] 曲面积分变为： \[ I = \iint_{D} \frac{(x + y + \sqrt{x^2 + y^2} + 1)^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} \sqrt{2} \, dA, \] 其中 $ D $ 是 $ xy $-平面上的圆盘 $ x^2 + y^2 \leq 1 $。为了简化积分，我们使用极坐标 $ x = r \cos \theta $ 和 $ y = r \sin \theta $。在极坐标中， $ dA = r \, dr \, d\theta $ 和 $ \sqrt{x^2 + y^2} = r $。积分区域 $ D $ 变为 $ 0 \leq r \leq 1 $ 和 $ 0 \leq \theta \leq 2\pi $。积分变为： \[ I = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{(r \cos \theta + r \sin \theta + r + 1)^2}{r} r \, dr \, d\theta = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r \cos \theta + r \sin \theta + r + 1)^2 \, dr \, d\theta. \] 设 $ A = \cos \theta + \sin \theta + 1 $。则积分变为： \[ I = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_0^1 (Ar + 1)^2 \, dr \, d\theta. \] 我们首先对 $ r $ 积分： \[ \int_0^1 (Ar + 1)^2 \, dr = \int_0^1 (A^2 r^2 + 2Ar + 1) \, dr = \left[ \frac{A^2 r^3}{3} + A r^2 + r \right]_0^1 = \frac{A^2}{3} + A + 1. \] 因此，积分 $ I $ 变为： \[ I = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \left( \frac{A^2}{3} + A + 1 \right) \, d\theta. \] 我们分别对每一项积分。首先， $ A = \cos \theta + \sin \theta + 1 $，所以： \[ A^2 = (\cos \theta + \sin \theta + 1)^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 1 + 2\cos \theta \sin \theta + 2\cos \theta + 2\sin \theta = 3 + 2\cos \theta \sin \theta + 2\cos \theta + 2\sin \theta. \] 因此， \[ \frac{A^2}{3} = 1 + \frac{2}{3} \cos \theta \sin \theta + \frac{2}{3} \cos \theta + \frac{2}{3} \sin \theta. \] 所以积分变为： \[ I = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \left( 1 + \frac{2}{3} \cos \theta \sin \theta + \frac{2}{3} \cos \theta + \frac{2}{3} \sin \theta + \cos \theta + \sin \theta + 1 + 1 \right) \, d\theta = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \left( 3 + \frac{2}{3} \cos \theta \sin \theta + \frac{5}{3} \cos \theta + \frac{5}{3} \sin \theta \right) \, d\theta. \] 由于 $ \int_0^{2\pi} \cos \theta \, d\theta = \int_0^{2\pi} \sin \theta \, d\theta = \int_0^{2\pi} \cos \theta \sin \theta \, d\theta = 0 $，积分简化为： \[ I = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} 3 \, d\theta = \sqrt{2} \cdot 3 \cdot 2\pi = 6\pi\sqrt{2}. \] 因此，曲面积分的值为： \[ \boxed{6\pi\sqrt{2}}. \]

解析

考查要点：本题主要考查曲面积分的计算，涉及曲面参数化、面积元素转换、极坐标变换以及对称性的应用。

解题核心思路：

参数化曲面：将曲面$z = \sqrt{x^2 + y^2}$投影到$xy$平面，利用$x$和$y$作为参数。
计算面积元素：通过偏导数求出$dS$，化简后得到$dS = \sqrt{2} \, dx \, dy$。
转换为极坐标：利用极坐标简化积分，将被积函数中的$x$和$y$用$r$和$\theta$表示。
展开并分项积分：展开被积函数，利用三角函数的周期性积分性质，快速求出结果。

破题关键点：

面积元素的化简：通过偏导数计算$dS$，发现其系数为$\sqrt{2}$，简化后续积分。
极坐标变换：将积分区域转换为极坐标下的单位圆，使积分对称性更明显。
对称性简化：利用$\int_0^{2\pi} \cos\theta \, d\theta = 0$等性质，快速消去复杂项。

曲面参数化与面积元素
曲面$\Sigma$由$z = \sqrt{x^2 + y^2}$给出，投影到$xy$平面为圆盘$D: x^2 + y^2 \leq 1$。计算面积元素：
$dS = \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} \, dx \, dy = \sqrt{2} \, dx \, dy.$

极坐标变换
令$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则$dA = r \, dr \, d\theta$，$\sqrt{x^2 + y^2} = r$。积分区域变为$0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。积分转换为：
$I = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_0^1 \left( r\cos\theta + r\sin\theta + r + 1 \right)^2 \, dr \, d\theta.$

展开被积函数
设$A = \cos\theta + \sin\theta + 1$，则被积函数为$(Ar + 1)^2$。展开后对$r$积分：
$\int_0^1 (A^2 r^2 + 2Ar + 1) \, dr = \frac{A^2}{3} + A + 1.$

对$\theta$积分
将$A^2$展开并代入，利用$\int_0^{2\pi} \cos\theta \, d\theta = 0$等性质，最终仅保留常数项：
$I = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} 3 \, d\theta = 6\pi\sqrt{2}.$