求通过点(1,1,1 )且与直线 ) x=2+t, y=3+2t z=5+3t . 垂直,又与平面 2x-z-5=0 平行的直线方程.

步骤 1：确定直线的方向向量
给定直线的参数方程为 $\left \{ \begin{matrix} x=2+t,\\ y=3+2t\\ z=5+3t\end{matrix} \right.$，其方向向量为 $\vec{d_1} = (1, 2, 3)$。

步骤 2：确定平面的法向量
给定平面的方程为 $2x - z - 5 = 0$，其法向量为 $\vec{n} = (2, 0, -1)$。

步骤 3：确定所求直线的方向向量
所求直线的方向向量 $\vec{d}$ 必须同时垂直于 $\vec{d_1}$ 和 $\vec{n}$，因此 $\vec{d}$ 可以通过 $\vec{d_1}$ 和 $\vec{n}$ 的叉乘得到。即 $\vec{d} = \vec{d_1} \times \vec{n}$。
计算叉乘：
$$
\vec{d} = \vec{d_1} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(-2 - 0) - \vec{j}(-1 - 6) + \vec{k}(0 - 4) = (-2, 7, -4)
$$
因此，所求直线的方向向量为 $\vec{d} = (-2, 7, -4)$。

步骤 4：写出直线的参数方程
所求直线通过点 $(1, 1, 1)$，方向向量为 $\vec{d} = (-2, 7, -4)$，因此直线的参数方程为：
$$
\left \{ \begin{matrix} x = 1 - 2t,\\ y = 1 + 7t,\\ z = 1 - 4t \end{matrix} \right.
$$