例4.求int(dx)/(1+e^x).
题目解答
答案
方法一：恒等变形
将被积函数重写为：
$\frac{1}{1+e^x} = 1 - \frac{e^x}{1+e^x}$
积分得：
$\int \left(1 - \frac{e^x}{1+e^x}\right) dx = x - \ln(1+e^x) + C$
方法二：换元法
令 $t = e^x$，则 $dt = e^x dx$，原积分变为：
$\int \frac{dt}{t(1+t)} = \int \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}\right) dt = \ln t - \ln(1+t) = x - \ln(1+e^x) + C$
方法三：另种恒等变形
将被积函数重写为：
$\frac{1}{1+e^x} = \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$
令 $u = 1 + e^{-x}$，则 $du = -e^{-x} dx$，原积分变为：
$\int \frac{-du}{u} = -\ln u = -\ln(1+e^{-x}) = x - \ln(1+e^x) + C$
结论：
$\boxed{x - \ln(1 + e^x) + C}$
解析
考查要点：本题主要考查分式积分的技巧，特别是通过恒等变形或换元法简化积分表达式的能力。关键在于将复杂的分母转化为容易处理的形式，或通过变量替换降低积分难度。
解题核心思路：
- 恒等变形：通过分子分母的调整，将被积函数拆分为简单函数的组合，便于逐项积分。
- 换元法：选择适当的变量替换（如$t = e^x$或$u = 1 + e^{-x}$），将原积分转化为更易处理的形式。
- 对数积分性质：利用$\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C$简化计算。
破题关键点：
- 观察分母结构，尝试通过变形或换元消除复杂项（如$e^x$）。
- 灵活应用分式分解，如$\frac{1}{t(1+t)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}$。
方法一：恒等变形
-
拆分被积函数：
$\frac{1}{1+e^x} = 1 - \frac{e^x}{1+e^x}$
通过分子分母同加减$e^x$实现拆分。 -
逐项积分：
$\int \left(1 - \frac{e^x}{1+e^x}\right) dx = \int 1 \, dx - \int \frac{e^x}{1+e^x} dx$ -
计算各部分积分：
- $\int 1 \, dx = x + C_1$
- 对$\int \frac{e^x}{1+e^x} dx$，令$u = 1 + e^x$，则$du = e^x dx$，得$\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C_2 = \ln(1+e^x) + C_2$
-
合并结果：
$x - \ln(1+e^x) + C$
方法二：换元法
-
变量替换：
令$t = e^x$，则$dt = e^x dx$，即$dx = \frac{dt}{t}$。 -
改写积分：
$\int \frac{dx}{1+e^x} = \int \frac{1}{1+t} \cdot \frac{dt}{t} = \int \frac{dt}{t(1+t)}$ -
分式分解：
$\frac{1}{t(1+t)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}$ -
逐项积分：
$\int \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}\right) dt = \ln|t| - \ln|1+t| + C$ -
回代变量：
$\ln e^x - \ln(1+e^x) + C = x - \ln(1+e^x) + C$
方法三：指数变形
-
分子分母同乘$e^{-x}$：
$\frac{1}{1+e^x} = \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$ -
变量替换：
令$u = 1 + e^{-x}$，则$du = -e^{-x} dx$，即$-du = e^{-x} dx$。 -
改写积分：
$\int \frac{e^{-x} dx}{1+e^{-x}} = \int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C = -\ln(1+e^{-x}) + C$ -
化简结果：
$-\ln(1+e^{-x}) = \ln\left(\frac{e^x}{1+e^x}\right) = x - \ln(1+e^x) + C$