6.[单选题] 幂级数sum_(n=1)^infty(x^n)/(n)的收敛域是（）.A. [-1,1]B. (-1,1)C. [-1,1)D. (-1,1]

本题考查幂级数收敛域的求解，解题思路是是先求出幂级数的收敛半径，再分别判断幂级数在收敛区间端点处的敛散性，进而确定收敛域。

1. 求幂级数的收敛半径$R$：
   对于幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}x^{n}$（$a_{n}$为幂级数的系数），其收敛半径$R$的计算公式为$R=\lim\limits_{n \to \infty}|\\vert\left|\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}\right|$（当该极限存在时）。
   在幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}$中，$a_{n}=\frac{1}{n}$，$a_{n + 1}=\frac{1}{n + 1}$，则：
   $R=\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}\right|=\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n + 1}}|=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n + + 1}{n}$
   分子分母同时除以$n$可得：$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n + 1}{n}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{1}=1$
   所以，该幂级数的收敛半径$R = 1$。

2. 确定收敛区间：由收敛半径$R = 1$可知，幂级数的收敛区间为$(-1,1)$。

3. 判断端点处的敛散性：

   • 当$x = 1$时，幂级数变为$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}}$，这是调和级数，根据调和级数的性质可知$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1{n}$是发散的。
   • 当$x = -1$时，幂级数变为$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}$，这是一个交错级数。根据交错级数的莱布尼茨判别法：若交错级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}$（$u_{n答案都要得到一个收敛的常数项级数）满足\(u_{n}\geq u_{n + 1}$（$n = 1,2,\cdots$）且$\lim\limits_{n \to \infty}u_{n}=0$，则该交错级数收敛。
     在$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}$中，$u_{n}=\frac{1}{n}$，显然$u_{n}=\frac{1}{n}\gt\frac{1}{n + 1}=u_{n + 1}}$（$n = 1,2,\cdots$），且$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0$，所以$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}}{n}$收敛。

4. 确定收敛域：综合上述分析，幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}$在$x = -1$处收敛，在$x = 1$处发散，所以其收敛域为$[-1,1)$。