11.设随机变量X与Y相互独立且同在区间 (0,theta )(theta gt 0) 上服从均匀分布,则-|||-[ min X,Y ] = () 。-|||-A. dfrac (theta )(2) B.θ C. dfrac (theta )(3) D. dfrac (theta )(4)

考查要点：本题主要考查均匀分布下两个独立随机变量最小值的期望计算，需要掌握概率密度函数的求导方法以及期望的积分计算。

解题核心思路：

1. 确定最小值分布函数：利用事件“最小值不超过z”的概率，结合独立性转化为两个变量均大于z的概率。
2. 求导得到概率密度函数：对分布函数求导得到最小值的密度函数。
3. 计算期望：通过积分计算期望值。
   或利用对称性与期望关系：利用“min + max = X + Y”的性质，结合已知的max期望快速求解。

破题关键点：

• 独立变量的联合概率：正确应用独立性简化概率计算。
• 积分计算技巧：正确展开并计算积分表达式，注意代数运算的准确性。

设随机变量$Z = \min\{X, Y\}$，其分布函数为：
$F_Z(z) = P(Z \leq z) = 1 - P(X > z, Y > z)$
由于$X$和$Y$独立且均服从$U(0, \theta)$，有：
$P(X > z, Y > z) = P(X > z) \cdot P(Y > z) = \left( \frac{\theta - z}{\theta} \right)^2$
因此：
$F_Z(z) = 1 - \left( \frac{\theta - z}{\theta} \right)^2 \quad (0 \leq z \leq \theta)$
对$F_Z(z)$求导得概率密度函数：
$f_Z(z) = \frac{d}{dz} F_Z(z) = \frac{2(\theta - z)}{\theta^2} \quad (0 \leq z \leq \theta)$
计算期望：
$E[Z] = \int_0^\theta z \cdot \frac{2(\theta - z)}{\theta^2} \, dz = \frac{2}{\theta^2} \int_0^\theta (\theta z - z^2) \, dz$
分别计算积分：
$\int_0^\theta \theta z \, dz = \theta \cdot \frac{\theta^2}{2} = \frac{\theta^3}{2}, \quad \int_0^\theta z^2 \, dz = \frac{\theta^3}{3}$
代入得：
$E[Z] = \frac{2}{\theta^2} \left( \frac{\theta^3}{2} - \frac{\theta^3}{3} \right) = \frac{2}{\theta^2} \cdot \frac{\theta^3}{6} = \frac{\theta}{3}$

关键结论：

• 最小值的期望为$\frac{\theta}{3}$，对应选项C。