题目
8.判断题若幂级数sum_(n=1)^inftya_(n)x^n的系数满足lim_(ntoinfty)|(a_(n))/(a_(n+1))|=R，若R=0，则幂级数仅在x=0处收敛.A. 对B. 错
8.判断题
若幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}$的系数满足$\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}|=R$，若R=0，则幂级数仅在x=0处收敛.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：理解幂级数收敛半径的定义
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}$ 的收敛半径 $R$ 可以通过比值检验确定，即 \[ R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \] 这个公式给出了幂级数收敛半径的计算方法。
步骤 2：分析题目中的条件
题目中给出的条件是 $\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}|=R$，并且 $R=0$。这意味着幂级数的收敛半径为0。
步骤 3：理解收敛半径为0的含义
当幂级数的收敛半径为0时，这意味着幂级数仅在 $x=0$ 处收敛。对于任何 $x \neq 0$，幂级数都会发散。这是因为收敛半径为0表示幂级数的收敛区间仅包含原点。
步骤 4：举例说明
例如，幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n! x^n$ 的收敛半径为0，仅在 $x = 0$ 处收敛。这是因为随着 $n$ 的增加，$n!$ 的增长速度非常快，使得对于任何 $x \neq 0$，级数的项会变得非常大，从而导致级数发散。
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}$ 的收敛半径 $R$ 可以通过比值检验确定，即 \[ R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \] 这个公式给出了幂级数收敛半径的计算方法。
步骤 2：分析题目中的条件
题目中给出的条件是 $\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}|=R$，并且 $R=0$。这意味着幂级数的收敛半径为0。
步骤 3：理解收敛半径为0的含义
当幂级数的收敛半径为0时，这意味着幂级数仅在 $x=0$ 处收敛。对于任何 $x \neq 0$，幂级数都会发散。这是因为收敛半径为0表示幂级数的收敛区间仅包含原点。
步骤 4：举例说明
例如，幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n! x^n$ 的收敛半径为0，仅在 $x = 0$ 处收敛。这是因为随着 $n$ 的增加，$n!$ 的增长速度非常快，使得对于任何 $x \neq 0$，级数的项会变得非常大，从而导致级数发散。