中国大学MOOC: 厂仓库中存放有规格相同的产品，其中甲车间生产的占 70％，乙车间生产的占 30％。甲车间生产的产品的次品率为 1/10 ，乙车间生产的产品的次品率为 2/15 。现从这些产品中任取一件进行检验，若取出的是次品，求该次品是甲车间生产的概率.( )

考查要点：本题主要考查条件概率的应用，特别是贝叶斯定理的理解与运用。需要根据已知条件，计算在已知某事件发生的条件下，另一相关事件发生的概率。

解题核心思路：

1. 明确问题类型：题目属于典型的“逆概率”问题，即已知次品出现的概率，求该次品来自甲车间的概率。
2. 确定贝叶斯定理的公式：
   $P(甲|次品) = \frac{P(次品|甲) \cdot P(甲)}{P(次品)}$
3. 计算关键概率：
   • 分子：甲车间生产次品的概率，即 $P(次品|甲) \cdot P(甲)$。
   • 分母：所有次品的总概率，需考虑甲、乙两个车间的次品贡献之和。

破题关键点：

• 正确应用贝叶斯定理，避免混淆条件概率的方向。
• 准确计算总次品率 $P(次品)$，需分别计算甲、乙车间的次品率与占比的乘积之和。

步骤1：定义事件与已知条件

• 设事件 $A$ 表示“产品来自甲车间”，$P(A) = 70\% = 0.7$。
• 事件 $B$ 表示“产品来自乙车间”，$P(B) = 30\% = 0.3$。
• 事件 $C$ 表示“产品是次品”。
• 已知 $P(C|A) = \frac{1}{10} = 0.1$，$P(C|B) = \frac{2}{15} \approx 0.1333$。

步骤2：计算总次品率 $P(C)$
根据全概率公式：
$P(C) = P(C|A) \cdot P(A) + P(C|B) \cdot P(B)$
代入数值：
$P(C) = 0.1 \cdot 0.7 + \frac{2}{15} \cdot 0.3 = 0.07 + 0.04 = 0.11$

步骤3：应用贝叶斯定理求 $P(A|C)$
根据公式：
$P(A|C) = \frac{P(C|A) \cdot P(A)}{P(C)} = \frac{0.1 \cdot 0.7}{0.11} = \frac{0.07}{0.11} = \frac{7}{11}$