题目

4.（4.0分）设离散型随机变量X的概率分布为Xsim( } 0 & 1 & 2 & 3 0.1 & 0.3 & 0.4 & 0.2 )，F(x)为X的分布函数，则F(2)=____. A. 0.8 B. 1 C. 0.1 D. 0.4

4.（4.0分）设离散型随机变量X的概率分布为$X\sim\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0.1 & 0.3 & 0.4 & 0.2 \end{matrix} \right)$，F(x)为X的分布函数，则F(2)=____.
A. 0.8
B. 1
C. 0.1
D. 0.4

题目解答

答案

为了求解离散型随机变量 $X$ 的分布函数 $F(2)$，我们需要计算 $X$ 小于等于 2 的概率。离散型随机变量 $X$ 的概率分布如下： \[ X \sim \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0.1 & 0.3 & 0.4 & 0.2 \end{matrix} \right) \] 分布函数 $F(x)$ 定义为 $F(x) = P(X \leq x)$。因此， $F(2) = P(X \leq 2)$。这包括了 $X$ 取值为 0、1 和 2 的概率。我们分别找出这些概率并求和： \[ P(X = 0) = 0.1 \] \[ P(X = 1) = 0.3 \] \[ P(X = 2) = 0.4 \] 将这些概率相加，得到： \[ F(2) = P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.1 + 0.3 + 0.4 = 0.8 \] 因此， $F(2)$ 的值为 $0.8$。正确答案是： \[ \boxed{A} \]

解析

考查要点：本题主要考查离散型随机变量分布函数的计算，需要理解分布函数的定义，并能正确求和对应概率值。

解题核心思路：分布函数$F(x)$表示随机变量$X$取值不超过$x$的概率，即$F(x) = P(X \leq x)$。因此，只需将所有小于等于$x$的取值对应的概率相加即可得到结果。

破题关键点：

  1. 明确分布函数的定义；
  2. 根据题目给出的概率分布表，正确识别$x=2$对应的取值（即$X=0,1,2$）；
  3. 对应概率求和。

根据分布函数的定义，$F(2) = P(X \leq 2)$，即计算$X$取$0$、$1$、$2$时的概率之和：

  1. 取值$X=0$的概率：$P(X=0) = 0.1$
  2. 取值$X=1$的概率：$P(X=1) = 0.3$
  3. 取值$X=2$的概率：$P(X=2) = 0.4$

将上述概率相加：
$F(2) = 0.1 + 0.3 + 0.4 = 0.8$

因此，$F(2)$的值为$0.8$，对应选项A。