题目
设f（x）=ln10x，g（x）=x，h（x）=ex10，则当x充分大时有（ ）A. g（x）＜h（x）＜f（x）B. h（x）＜g（x）＜f（x）C. f（x）＜g（x）＜h（x）D. g（x）＜f（x）＜h（x）
设f（x）=ln10x，g（x）=x，h（x）=e
，则当x充分大时有（ ）
A. g（x）＜h（x）＜f（x）
B. h（x）＜g（x）＜f（x）
C. f（x）＜g（x）＜h（x）
D. g（x）＜f（x）＜h（x）
| x |
| 10 |
A. g（x）＜h（x）＜f（x）
B. h（x）＜g（x）＜f（x）
C. f（x）＜g（x）＜h（x）
D. g（x）＜f（x）＜h（x）
题目解答
答案
①当x→+∞时，f（x）、g（x）→+∞，
因此，可应用洛必达法则求极限
=
=
＝
=…=10!×
＝10!×
＝0；
所以，根据函数极限的保号性性质，当x充分大时，f（x）＜g（x）；
②当x→+∞时，g（x）、h（x）→+∞，
因此，可应用洛必达法则求极限
=
=
=0；
所以，根据函数极限的保号性性质，当x充分大时，g（x）＜h（x）．
因此有：f（x）＜g（x）＜h（x）；
故选：C．
因此，可应用洛必达法则求极限
| lim |
| x→+∞ |
| f(x) |
| g(x) |
| lim |
| x→+∞ |
| ln10x |
| x |
| lim |
| x→+∞ |
| 10ln9x |
| x |
| lim |
| x→+∞ |
| 10×9ln8x |
| x |
| lim |
| x→+∞ |
| lnx |
| x |
| lim |
| x→+∞ |
| 1 |
| x |
所以，根据函数极限的保号性性质，当x充分大时，f（x）＜g（x）；
②当x→+∞时，g（x）、h（x）→+∞，
因此，可应用洛必达法则求极限
| lim |
| x→+∞ |
| g(x) |
| h(x) |
| lim |
| x→+∞ |
| x | ||
e
|
| lim |
| x→+∞ |
| 1 | ||||
|
所以，根据函数极限的保号性性质，当x充分大时，g（x）＜h（x）．
因此有：f（x）＜g（x）＜h（x）；
故选：C．
解析
步骤 1：比较f(x)和g(x)
当x→+∞时，f(x)和g(x)都趋向于+∞。为了比较它们的增长速度，我们可以使用洛必达法则求极限
lim_{x→+∞} \frac{ln^{10}x}{x} = 10! × lim_{x→+∞} \frac{1}{x} = 0
根据函数极限的保号性性质，当x充分大时，f(x) < g(x)。
步骤 2：比较g(x)和h(x)
当x→+∞时，g(x)和h(x)都趋向于+∞。同样地，我们可以使用洛必达法则求极限
lim_{x→+∞} \frac{x}{10} = lim_{x→+∞} \frac{1}{10e^{x/10}} = 0
根据函数极限的保号性性质，当x充分大时，g(x) < h(x)。
步骤 3：综合比较
根据步骤1和步骤2的结论，当x充分大时，有f(x) < g(x) < h(x)。
当x→+∞时，f(x)和g(x)都趋向于+∞。为了比较它们的增长速度，我们可以使用洛必达法则求极限
lim_{x→+∞} \frac{ln^{10}x}{x} = 10! × lim_{x→+∞} \frac{1}{x} = 0
根据函数极限的保号性性质，当x充分大时，f(x) < g(x)。
步骤 2：比较g(x)和h(x)
当x→+∞时，g(x)和h(x)都趋向于+∞。同样地，我们可以使用洛必达法则求极限
lim_{x→+∞} \frac{x}{10} = lim_{x→+∞} \frac{1}{10e^{x/10}} = 0
根据函数极限的保号性性质，当x充分大时，g(x) < h(x)。
步骤 3：综合比较
根据步骤1和步骤2的结论，当x充分大时，有f(x) < g(x) < h(x)。