设f(z)=2xy-(rm i)x^2, 那么( ).A. f(z) 处处可微B. f(z) 处处不可导C. f(z) 仅在原点可导D. f(z) 仅在x 轴上可导

考查要点：本题主要考查复变函数的可导性条件，即柯西-黎曼方程的应用。

解题核心思路：

1. 将复变函数分解为实部$u(x,y)$和虚部$v(x,y)$；
2. 计算偏导数，代入柯西-黎曼方程；
3. 分析方程成立的条件，确定可导区域。

破题关键点：

• 柯西-黎曼方程是判断复变函数可导性的必要且充分条件（当偏导数连续时）；
• 通过偏导数的计算，找到满足方程的区域，进而判断可导性。

将$f(z)=2xy - i x^2$分解为实部和虚部：
$u(x,y) = 2xy, \quad v(x,y) = -x^2.$

柯西-黎曼方程要求：
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$

计算偏导数：

1. $\frac{\partial u}{\partial x} = 2y$, $\frac{\partial u}{\partial y} = 2x$；
2. $\frac{\partial v}{\partial x} = -2x$, $\frac{\partial v}{\partial y} = 0$.

代入柯西-黎曼方程：

1. 第一方程：$2y = 0 \implies y = 0$；
2. 第二方程：$2x = -(-2x) \implies 2x = 2x$（恒成立）。

结论：

• 当且仅当$y=0$时，柯西-黎曼方程成立，即函数在$x$轴上可导；
• 其他区域不满足方程，故不可导。