5.设随机变量服从区间[0,1]上的均匀分布，则Y=e^X的概率密度函数为（）A. f_(Y)(y)=}(1)/(y),&1le yle e0,&(其它).

本题考查随机变量函数的概率密度函数的求解，解题思路是先求出随机变量$Y = e^X$的分布函数$F_Y(y)$，再对分布函数求导得到概率密度函数$f_Y(y)$。

步骤一：确定$X$的概率密度函数

已知随机变量$X$服从区间$[0,1]$上的均匀分布，根据均匀分布的概率密度函数公式：若$X\sim U(a,b)$，则$f_X(x)=\begin{cases}\frac{1}{b - a},&a\leq x\leq b\\0,&\text{其它}\end{cases}$，可得$X$的概率密度函数为：
$f_X(x)=\begin{cases}1,&0\leq x\leq 1\\0,&\text{其它}\end{cases}$

步骤二：求$Y = e^X$的分布函数$F_Y(y)$

分布函数$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(e^X\leq y)=P(X\leq\ln y)$。

• 当$y\leq 1$时，$\ln y\leq 0$，则$P(X\leq\ln y)=0$，即$F_Y(y)=0$。
• 当$1\lt y\lt e$时，$0\lt\ln y\lt 1$，则$F_Y(y)=P(X\leq\ln y)=\int_{-\infty}^{\ln y}f_X(x)dx=\int_{0}^{\ln y}1dx=\ln y$。
• 当$y\geq e$时，$\ln y\geq 1$，则$F_Y(y)=P(X\leq\ln y)=\int_{-\infty}^{\ln y}f_X(x)dx=\int_{0}^{1}1dx = 1$。

综上，$Y$的分布函数为$F_Y(y)=\begin{cases}0,&y\leq 1\\\ln y,&1\lt y\lt e\\1,&y\geq e\end{cases}$。

步骤三：求$Y = e^X$的概率密度函数$f_Y(y)$

根据概率密度函数与分布函数的关系$f_Y(y)=F_Y^\prime(y)$，对$F_Y(y)$求导：

• 当$y\leq 1$时，$F_Y(y)=0$，则$f_Y(y)=F_Y^\prime(y)=0$。
• 当$1\lt y\lt e$时，$F_Y(y)=\ln y$，则$f_Y(y)=F_Y^\prime(y)=\frac{1}{y}$。
• 当$y\geq e$时，$F_Y(y)=1$，则$f_Y(y)=F_Y^\prime(y)=0$。

所以$Y$的概率密度函数为$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{y},&1\leq y\leq e\\0,&\text{其它}\end{cases}$。