题目
(4)((x+1)(x-5)^2)/((x-2))<0;
(4)$\frac{(x+1)(x-5)^{2}}{(x-2)}<0;$
题目解答
答案
原不等式为 $\frac{(x+1)(x-5)^2}{(x-2)} < 0$。
注意到 $(x-5)^2 \geq 0$，仅当 $x=5$ 时为零，此时不等式不成立。
故可简化为 $\frac{x+1}{x-2} < 0$，即分子分母异号。
解得 $-1 < x < 2$（此时分子正，分母负）。
又 $x=5$ 时分子为零，不满足不等式。
**答案：** $\boxed{\{x \mid -1 < x < 2\}}$
解析
本题考查分式不等式的求解。解题的关键思路是先分析不等式中各项的性质性质，对不等式进行化简，，再根据分式不等式不等式的求解方法求出解集。
- 分析$(x - - 5)^2$的性质：
因为任何实数的平方都大于等于$0$，所以$(x - 5)^2\geq0$。当且仅当$x = 5$时，$(x - 5)^2 = 0$。
此时原不等式$\frac{(x + 1)(x - 5)^2}{x - 2}<0$的左边为$0$，不满足不等式不成立的条件，所以$x\neq5$。
当$x\neq5$时，$(x - 5)^2>0$，那么原不等式$\frac{(x + 1)(x - 5)^2}{x - 2}<0$两边同时除以$(x - 5)^2$（因为$(x - 5)^2>0$，不等号方向不变），可简化为$\frac{x + 1}{x - 2}<0$。 - 求解$\frac{x + 1}{x - 2}<0$等价于$(x + 1)(x - 2)<0$且$x - 2\neq0$
令$(x + 1)(x - 2)=0$，根据“若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$”，可得$x + 1 = 0$或$x - 2 = 0$，即$x = - 1$或$x = 2$。
二次函数$y=(x + 1)(x - 2)=x^2 - x - 2$，二次项系数$a = 1>0$，函数图象开口向上。
要使$(x + 1)(x - 2)<0$，则函数图象在$x$轴下方的部分对应的$x$取值范围，即\(-1, 2)。 又因为$x - 2\neq0$，即$x\neq2$，所以不等式$\frac{x + 1}{x - 2}<0$的解集为$-1