题目
5.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为-|||-f(x,y)= (e)^-(3x+4y),xgt 0,ygt 0,-|||-0, 其他.-|||-(1)求X,Y的边缘密度函数并判断X与Y是否独立?-|||-(2)试求 =x+y 的密度函数fz(z).
题目解答
答案
解析
步骤 1：求X的边缘密度函数
为了求X的边缘密度函数，我们需要对联合概率密度函数f(x,y)关于y进行积分。即：
${f}_{x}(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$
步骤 2：求Y的边缘密度函数
为了求Y的边缘密度函数，我们需要对联合概率密度函数f(x,y)关于x进行积分。即：
${f}_{y}(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx$
步骤 3：判断X与Y是否独立
如果X与Y独立，则联合概率密度函数f(x,y)等于X的边缘密度函数${f}_{x}(x)$与Y的边缘密度函数${f}_{y}(y)$的乘积。即：
$f(x,y)={f}_{x}(x)\times {f}_{y}(y)$
步骤 4：求Z的密度函数
为了求Z的密度函数，我们需要对联合概率密度函数f(x,y)进行变换。即：
${F}_{z}(z)=P(Z\leqslant z)=P(X+Y\leqslant z)$
然后对${F}_{z}(z)$求导得到${f}_{z}(z)$。
为了求X的边缘密度函数，我们需要对联合概率密度函数f(x,y)关于y进行积分。即：
${f}_{x}(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$
步骤 2：求Y的边缘密度函数
为了求Y的边缘密度函数，我们需要对联合概率密度函数f(x,y)关于x进行积分。即：
${f}_{y}(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx$
步骤 3：判断X与Y是否独立
如果X与Y独立，则联合概率密度函数f(x,y)等于X的边缘密度函数${f}_{x}(x)$与Y的边缘密度函数${f}_{y}(y)$的乘积。即：
$f(x,y)={f}_{x}(x)\times {f}_{y}(y)$
步骤 4：求Z的密度函数
为了求Z的密度函数，我们需要对联合概率密度函数f(x,y)进行变换。即：
${F}_{z}(z)=P(Z\leqslant z)=P(X+Y\leqslant z)$
然后对${F}_{z}(z)$求导得到${f}_{z}(z)$。