题目
设 lim_(n to infty) u_n = +infty, u_n > 0, u_n leq u_(n+1), 则收敛 sum_(n=1)^infty ((-1)^n-1)/(sqrt(u_n)) 与 sum_(n=1)^infty (1)/(sqrt(u_n^2)) ()A. 一个收敛，另一个收敛B. 敛散性均不能确定C. 均收敛D. 一个收敛，另一个敛散性不确定
设 $\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty$, $u_n > 0$, $u_n \leq u_{n+1}$, 则收敛 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{u_n}}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{u_n^2}}$ ()
A. 一个收敛，另一个收敛
B. 敛散性均不能确定
C. 均收敛
D. 一个收敛，另一个敛散性不确定
题目解答
答案
D. 一个收敛，另一个敛散性不确定
解析
步骤 1：分析级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{u_{n}}}$ 的收敛性
由条件知 $u_n > 0$ 且 $u_n \leq u_{n+1}$，则 $a_n = \frac{1}{\sqrt{u_n}}$ 单调递减且 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，满足莱布尼茨判别法，故级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{u_{n}}}$ 收敛。
步骤 2：分析级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{u_{n}^{2}}}$ 的收敛性
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{u_{n}^{2}}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{u_n}$，仅知 $u_n \to +\infty$，无法确定 $\frac{1}{u_n}$ 的和收敛性（如 $u_n = n$ 时发散，$u_n = n^2$ 时收敛）。
由条件知 $u_n > 0$ 且 $u_n \leq u_{n+1}$，则 $a_n = \frac{1}{\sqrt{u_n}}$ 单调递减且 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，满足莱布尼茨判别法，故级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{u_{n}}}$ 收敛。
步骤 2：分析级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{u_{n}^{2}}}$ 的收敛性
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{u_{n}^{2}}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{u_n}$，仅知 $u_n \to +\infty$，无法确定 $\frac{1}{u_n}$ 的和收敛性（如 $u_n = n$ 时发散，$u_n = n^2$ 时收敛）。