求下列集合的幂集.(1) a, b, c.(2) 1, {2, 3}.(3) emptyset.(4) emptyset, {emptyset}.(5) {1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2}.(6) {emptyset, 2, 2}.

我们来逐题求下列集合的幂集。

什么是幂集？

一个集合 $ A $ 的幂集（Power Set），记作 $ \mathcal{P}(A) $，是指由 $ A $ 的所有子集构成的集合。如果 $ A $ 有 $ n $ 个元素，则其幂集有 $ 2^n $ 个元素。

注意：子集包括空集 $ \emptyset $ 和集合本身。

我们逐题分析。

(1) $ \{a, b, c\} $

这个集合有 3 个元素：$ a, b, c $。

所以它的幂集有 $ 2^3 = 8 $ 个子集。

我们列出所有子集：

• 空集：$ \emptyset $
• 单元素子集：$ \{a\}, \{b\}, \{c\} $
• 两元素子集：$ \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\} $
• 三元素子集（即原集合）：$ \{a,b,c\} $

所以幂集为：

$\mathcal{P}(\{a,b,c\}) = \left\{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c\} \right\}$

✅ 共 8 个元素。

(2) $ \{1, \{2, 3\}\} $

这个集合有两个元素：

• 第一个元素是：$ 1 $
• 第二个元素是：集合 $ \{2,3\} $

注意：$ \{2,3\} $ 是一个整体，是集合中的一个元素。

所以集合有两个元素，幂集有 $ 2^2 = 4 $ 个子集。

所有子集：

• $ \emptyset $
• $ \{1\} $
• $ \{\{2,3\}\} $
• $ \{1, \{2,3\}\} $

注意：不能把 $ 2 $ 或 $ 3 $ 单独拿出来，因为它们不是原集合的元素。

所以幂集为：

$\mathcal{P}(\{1, \{2,3\}\}) = \left\{ \emptyset,\ \{1\},\ \{\{2,3\}\},\ \{1, \{2,3\}\} \right\}$

✅ 共 4 个元素。

(3) $ \{\emptyset\} $

这个集合只有一个元素：空集 $ \emptyset $。

注意：它不是空集，而是包含空集的集合。

所以它有 1 个元素，幂集有 $ 2^1 = 2 $ 个子集：

• $ \emptyset $（空集）
• $ \{\emptyset\} $（原集合本身）

所以幂集为：

$\mathcal{P}(\{\emptyset\}) = \left\{ \emptyset,\ \{\emptyset\} \right\}$

✅ 共 2 个元素。

(4) $ \{\emptyset, \{\emptyset\}\} $

这个集合有两个元素：

• 第一个元素：$ \emptyset $
• 第二个元素：$ \{\emptyset\} $

注意：$ \emptyset \neq \{\emptyset\} $，前者是空集，后者是包含空集的集合。

所以这是两个不同的元素。

因此，集合有 2 个元素，幂集有 $ 2^2 = 4 $ 个子集。

所有子集：

1. $ \emptyset $
2. $ \{\emptyset\} $
3. $ \{\{\emptyset\}\} $
4. $ \{\emptyset, \{\emptyset\}\} $

所以幂集为：

$\mathcal{P}(\{\emptyset, \{\emptyset\}\}) = \left\{ \emptyset,\ \{\emptyset\},\ \{\{\emptyset\}\},\ \{\emptyset, \{\emptyset\}\} \right\}$

✅ 共 4 个元素。

(5) $ \{\{1, 2\}, \{2, 1, 1\}, \{2, 1, 1, 2\}\} $

我们先化简这个集合。

集合中元素是集合，且集合具有无序性和互异性。

我们看三个元素：

• $ \{1,2\} $
• $ \{2,1,1\} = \{1,2\} $（重复元素只算一次，无序）
• $ \{2,1,1,2\} = \{1,2\} $

所以这三个集合实际上是同一个集合。

因此，原集合实际上是：

$\{\{1,2\}, \{1,2\}, \{1,2\}\} = \{\{1,2\}\}$

即：只含有一个元素 $ \{1,2\} $ 的集合。

所以这个集合只有一个元素，幂集有 $ 2^1 = 2 $ 个子集：

• $ \emptyset $
• $ \{\{1,2\}\} $

所以幂集为：

$\mathcal{P}(\{\{1,2\}, \{2,1,1\}, \{2,1,1,2\}\}) = \left\{ \emptyset,\ \{\{1,2\}\} \right\}$

✅ 共 2 个元素。

(6) $ \{\{\emptyset, 2\}, \{2\}\} $

这个集合有两个元素：

• 第一个元素：集合 $ \{\emptyset, 2\} $
• 第二个元素：集合 $ \{2\} $

注意：$ \{\emptyset, 2\} $ 是一个包含两个元素的集合：一个是空集 $ \emptyset $，一个是 $ 2 $。

而 $ \{2\} $ 只包含 $ 2 $。

这两个集合不同，所以原集合有两个不同元素。

因此，幂集有 $ 2^2 = 4 $ 个子集。

所有子集：

1. $ \emptyset $
2. $ \{\{\emptyset, 2\}\} $
3. $ \{\{2\}\} $
4. $ \{\{\emptyset, 2\}, \{2\}\} $

所以幂集为：

$\mathcal{P}(\{\{\emptyset, 2\}, \{2\}\}) = \left\{ \emptyset,\ \{\{\emptyset, 2\}\},\ \{\{2\}\},\ \{\{\emptyset, 2\}, \{2\}\} \right\}$

✅ 共 4 个元素。

最终答案汇总：

(1)
$\boxed{ \left\{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c\} \right\} }$

(2)
$\boxed{ \left\{ \emptyset,\ \{1\},\ \{\{2,3\}\},\ \{1, \{2,3\}\} \right\} }$

(3)
$\boxed{ \left\{ \emptyset,\ \{\emptyset\} \right\} }$

(4)
$\boxed{ \left\{ \emptyset,\ \{\emptyset\},\ \{\{\emptyset\}\},\ \{\emptyset, \{\emptyset\}\} \right\} }$

(5)
$\boxed{ \left\{ \emptyset,\ \{\{1,2\}\} \right\} }$

(6)
$\boxed{ \left\{ \emptyset,\ \{\{\emptyset, 2\}\},\ \{\{2\}\},\ \{\{\emptyset, 2\}, \{2\}\} \right\} }$

✅ 所有题目解答完毕。