解析:建立坐标系如图所示,水箱中水所受单位质量力分别为代入等压面微分方程(2-13)式,积分后得等压面方程为由边界条件:当时,,得。将,代入上式得加速度为2-25 一盛水的矩形敞口容器,沿α=30°的斜面向上作加速度运动,加速度a=2m/s,求液面与壁面的夹角θ。已知:a=2m/s,α=30°。解析:建立坐标系如图所示,容器中水所受单位质量力分别为质量力的作用线与铅直线的夹角为由于质量力与自由液面(等压面)处处正交,所以,由图可得液面与壁面的夹角θ为2-26 图示为一圆筒形容器,半径R=150mm,高H=500mm,盛水深h=250mm。今以角速度ω绕z轴旋转,试求容器底开始露出时的转速。已知:R=150mm,H=500mm,h=250mm。解析:建立圆柱坐标系,坐标原点取在容器底部中心处。等压面微分方程为 积分上式得 在自由表面上,当r=0时,z=0,则积分常数C=0。于是得自由液面方程为于是 容器上缘处坐标为:r=R=0.15m,z=H=0.5m,代入上式,得则容器底开始露出时的转速为2-27 圆柱形容器的半径R=15cm,高H=50cm,盛水深h=30cm。若容器以等角速度ω绕z轴旋转,试求ω最大为多少时才不致使水从容器中溢出?已知:R=15cm,H=50cm,h=30cm。解析:建立圆柱坐标系,坐标原点取在旋转抛物面顶点上。等压面微分方程为 积分上式得 在自由表面上,当r=0时,z=0,则积分常数C=0。于是得到自由液面方程为由于容器旋转后,水面最高点正好达到容器上缘,故没有水溢出。所以抛物体的空间体积应等于原静止时水面上部容器空间的体积。抛物体空间的体积为静止时容器上部空间的体积为因为V=V,于是 所以 2-28 一封闭容器,直径D=0.6m,高H=0.5m,内装水深至h=0.4m,上部装比重S=0.8的油。封闭容器的上盖中心有一小孔,当容器绕z轴旋转时,使油水分界面下降至底部中心,试求:(1)这时的旋转角速度;(2)a、b、c、d各点的压力(用mHO表示);(3)液体作用在容器底和顶盖上的力。已知:D=0.6m,H=0.5m,h=0.4m,S=0.8。解析:(1) 建立圆柱坐标系,坐标原点取在容器底部中心处。等压面微分方程为积分上式得 在油水分界面上,当r=0时,z=0,则积分常数C=0。于是油水分界面方程为那么,在顶盖上的油水分界点、处,有 ①又知容器中水面以上油的体积为容器旋转后,抛物体的体积为由,得 ②联立①式和②式,得压力微分方程为积分上式,得相对压力分布式为由边界条件:r=0,z=0时,,得。则那么,水的相对压力分布式为油的相对压力分布式为(2) 由水静力学基本方程(2-17)及上述③式,得a、b、c、d各点的相对压力分别为(3) 将上述③、④两式对容器顶盖面积积分,注意到,得液体作用在顶盖上的力为将上述③式对容器底面积积分,注意到,得液体作用在容器底上的力为2-29 已知矩形闸门高h=3m,宽b=2m,上游水深h=6m,下游水深h=4.5m,求:(1)作用在闸门上的总静水压力;(2)压力中心的位置。已知:h=3m,h=6m,h=4.5m,b=2m。解析:(1) 闸门左侧所受的总压力为左侧压力中心到闸门中心的距离为闸门右侧所受的总压力为右侧压力中心到闸门中心的距离为闸门所受的总压力为总压力的方向指向右侧。(2) 为求压力中心的位置,设总压力的作用点距底部O点的距离为a,对O点取矩,得则 2-30 在倾角α=60°的堤坡上有一圆形泄水孔,孔口装一直径d=1m的平板闸门,闸门中心位于水深h=3m处,闸门a端有一铰链,b端有一钢索可将闸门打开。若不计闸门及钢索的自重,求开启闸门所需的力F。已知:d=1m,h=3m,α=60°。解析:(1) 闸门所受的总压力为(2) 压力中心到闸门中心的距离为(3) 对闸门上端a点取矩,得 则开启闸门所需要的力为2-31 有一三角形闸门,可绕AB轴旋转,油液的重度为γ,求液体对闸门的总压力及总压力对AB轴的力矩。已知:h,b,γ。解析:液体对闸门的总压力为压力中心距AB的距离可图解法来确定,或由惯性积计算确定为。则总压力对AB轴的力矩近似为2-32 倾斜的矩形平板闸门,长为AB,宽b=2m,设水深h=8m,试求作用在闸门上的静水总压力及其对端点A的力矩。已知:b=2m,h=8m,h=BE=4m, =AE=3m。解析:依据图意知;闸门面积为。闸门所受的总压力为压力中心D距形心C的距离为压力中心D距A点的距离为静水总压力对端点A的力矩为2-33 矩形平板闸门,宽b=0.8m,高h=1m,若要求箱中水深h超过2m时,闸门即可自动开启,铰链的位置y应设在何处?已知:b=0.8m,h=1m,h≥2m。解析:当铰链的位置高于压力中心的位置时,即y≥h-h时,闸门即可自动开启。闸门所受的总压力为压力中心的位置为那么,铰链的位置y为 2-34 金属的矩形平板闸门,宽1m,由两根工字钢横梁支撑。闸门高h=3m,容器中水面与闸门顶齐平,如要求两横梁所受的力相等,两工字钢的位置y和y应为多少?已知:b=1m,h=3m。解析:容器液面上的相对压力为,容器底面上的相对压力为,据此绘制矩形平板闸门的静压力分布图,如图所示。将静压力分布图的面积两等分,得△ABD和梯形BCDE。由,得由,得比较以上两式,得; 由于△ABD的形心位于A点以下处,而总压力的作用线通过静压力分布图的形心,所以得 梯形BCDE的形心距离容器底面的距离为所以 2-35 一弧形闸门,宽2m,圆心角α=30°,半径r=3m,闸门转轴与水平面齐平,求作用在闸门上的静水总压力的大小与方向(即合力与水平面的夹角)。已知:b=2m,r=3m,α=30°。解析:由图可知弧形闸门所受的水平分力为弧形闸门所受的水平分力为总合力为总合力与水平面的夹角为2-36 一圆柱形闸门,长=10m,直径D=4m,上游水深h=4m,下游水深h=2m,求作用在该闸门上的静水总压力的大小与方向。已知: =10m,D=4m,h=4m,h=2m。解析:(1) 闸门左侧面所受的水平分力为闸门右侧面所受的水平分力为则,闸门所受的总水平分力为(2) 依据题意可知,闸门左侧压力体的体积为圆柱体,闸门右侧压力体的体积为圆柱体,总压力体的体积为圆柱体。所以闸门所受的垂直分力为总合力为总合力与水平面的夹角为2-37 图示为一封闭容器,宽b=2m,AB为一1/4圆弧闸门。容器内BC线以上为油,以下为水。U形测压计中液柱高差R=1m,闸门A处设一铰,求B点处力F为多少时才能把闸门关住。已知:b=2m,R=1m,S1=0.8,S=3.0。解析:(1) 设油水分界面上的相对压力为。由静力学方程得U型管液、水分界面上的相对压力为则 A. 点的相对压力为 B. 圆弧闸门所受的水平分力为 C. 点以下)为 D. 水平分力的方向水平向左。 E. 圆弧闸门所受的垂直分力为 F. 垂直分力的方向垂直向上。 G. 点的水平距离为 点取矩,得 则 2-38 用一圆柱形圆木挡住左边的油,油层浮在水面上,设圆木正处于平衡状态,试求:(1)单位长圆木对岸的推力;(2)单位长圆木的重量;(3)圆木的比重。 R=0.8m,S油=0.8。 解析:(1) 由于圆木下部左右两侧所受水的水平作用力大小相等,方向相反,互相抵消,所以,圆木所受的水平分力为油的水平作用力,即 N。 (2) 根据图意可知,圆木上部油的压力体体积为,其垂直分力的方向向下;圆木下部水的压力体体积为,其垂直分力的方向向上。若设油水分界面上的相对压力为,,所以圆木所受的总垂直分力为 N。 (3) 圆木的比重为 R的封闭圆柱形容器内装满重度为γ的液体,测压管如图所示,试求:(1)作用在单位长AB面上的水平分力及作用线;(2)作用在单位长AB面上的铅垂分力及作用线。 R,γ。 D所在的水平面上的相对压力为0,则A点处的相对压力为。 B面上的水平分力为 点的垂直距离为 B面上的垂直分力为 垂直作用线距圆柱形容器中心的水平距离为。 h=1m,求此圆柱体所受的静水总压力。 h=1m,=1m,α=60°。 解析:(1) 由于圆柱体下部两侧所受的水平分力相等、相互抵消,所以,圆柱体所受的水平分力为 (2) 由图根据已知条件可知,压力体的体积为左下部半圆与右上方直角三角形的面积之和,所以,圆柱体所受的垂直分力为 垂直分力的方向向上。因此,圆柱体所受的静水总压力为 静水总压力与水平面的夹角为 H=2.0m,测压管中液面高出油库中液面的高度h=0.6m,石油重度为6867N/m3,试求液体作用在半球盖上的水平分力及铅垂分力。 H=2.0m,h=0.6m,γ=6867N/m3。 解析:(1) 油库中液面上的相对压力为 那么,液体作用在半球盖上的水平分力为 (2) 半球盖的压力体体积为球的体积,液面上压力p对半球盖上半部分作用的垂直分力,与对下半部分作用的垂直分力相等,相互抵消,所以,液体作用在半球盖上的铅垂分力为

解析:建立坐标系如图所示,水箱中水所受单位质量力分别为

代入等压面微分方程(2-13)式,积分后得等压面方程为

由边界条件:当时,,得。将,代入上式得加速度为

2-25 一盛水的矩形敞口容器,沿α=30°的斜面向上作加速度运动,加速度a=2m/s,求液面与壁面的夹角θ。

已知:a=2m/s,α=30°。

解析:建立坐标系如图所示,容器中水所受单位质量力分别为

质量力的作用线与铅直线的夹角为

由于质量力与自由液面(等压面)处处正交,所以,由图可得液面与壁面的夹角θ为

2-26 图示为一圆筒形容器,半径R=150mm,高H=500mm,盛水深h=250mm。今以角速度ω绕z轴旋转,试求容器底开始露出时的转速。

已知:R=150mm,H=500mm,h=250mm。

解析:建立圆柱坐标系,坐标原点取在容器底部中心处。等压面微分方程为

积分上式得

在自由表面上,当r=0时,z=0,则积分常数C=0。于是得自由液面方程为

于是

容器上缘处坐标为:r=R=0.15m,z=H=0.5m,代入上式,得

则容器底开始露出时的转速为

2-27 圆柱形容器的半径R=15cm,高H=50cm,盛水深h=30cm。若容器以等角速度ω绕z轴旋转,试求ω最大为多少时才不致使水从容器中溢出?

已知:R=15cm,H=50cm,h=30cm。

解析:建立圆柱坐标系,坐标原点取在旋转抛物面顶点上。

等压面微分方程为

积分上式得

在自由表面上,当r=0时,z=0,则积分常数C=0。

于是得到自由液面方程为

由于容器旋转后,水面最高点正好达到容器上缘,故没有水溢出。所以抛物体的空间体积应等于原静止时水面上部容器空间的体积。抛物体空间的体积为

静止时容器上部空间的体积为

因为V=V,于是

所以

2-28 一封闭容器,直径D=0.6m,高H=0.5m,内装水深至h=0.4m,上部装比重S=0.8的油。封闭容器的上盖中心有一小孔,当容器绕z轴旋转时,使油水分界面下降至底部中心,试求:(1)这时的旋转角速度;(2)a、b、c、d各点的压力(用mHO表示);(3)液体作用在容器底和顶盖上的力。

已知:D=0.6m,H=0.5m,h=0.4m,S=0.8。

解析:(1) 建立圆柱坐标系,坐标原点取在容器底部中心处。等压面微分方程为

积分上式得

在油水分界面上,当r=0时,z=0,则积分常数C=0。于是油水分界面方程为

那么,在顶盖上的油水分界点、处,有 ①

又知容器中水面以上油的体积为

容器旋转后,抛物体的体积为

由,得 ②

联立①式和②式,得

压力微分方程为

积分上式,得相对压力分布式为

由边界条件:r=0,z=0时,,得。则

那么,水的相对压力分布式为

油的相对压力分布式为

(2) 由水静力学基本方程(2-17)及上述③式,得a、b、c、d各点的相对压力分别为

(3) 将上述③、④两式对容器顶盖面积积分,注意到,得液体作用在顶盖上的力为

将上述③式对容器底面积积分,注意到,得液体作用在容器底上的力为

2-29 已知矩形闸门高h=3m,宽b=2m,上游水深h=6m,下游水深h=4.5m,求:(1)作用在闸门上的总静水压力;(2)压力中心的位置。

已知:h=3m,h=6m,h=4.5m,b=2m。

解析:(1) 闸门左侧所受的总压力为

左侧压力中心到闸门中心的距离为

闸门右侧所受的总压力为

右侧压力中心到闸门中心的距离为

闸门所受的总压力为

总压力的方向指向右侧。

(2) 为求压力中心的位置,设总压力的作用点距底部O点的距离为a,对O点取矩,得

则

2-30 在倾角α=60°的堤坡上有一圆形泄水孔,孔口装一直径d=1m的平板闸门,闸门中心位于水深h=3m处,闸门a端有一铰链,b端有一钢索可将闸门打开。若不计闸门及钢索的自重,求开启闸门所需的力F。

已知:d=1m,h=3m,α=60°。

解析:(1) 闸门所受的总压力为

(2) 压力中心到闸门中心的距离为

(3) 对闸门上端a点取矩,得

则开启闸门所需要的力为

2-31 有一三角形闸门,可绕AB轴旋转,油液的重度为γ,求液体对闸门的总压力及总压力对AB轴的力矩。

已知:h,b,γ。

解析:液体对闸门的总压力为

压力中心距AB的距离可图解法来确定,或由惯性积计算确定为。

则总压力对AB轴的力矩近似为

2-32 倾斜的矩形平板闸门,长为AB,宽b=2m,设水深h=8m,试求作用在闸门上的静水总压力及其对端点A的力矩。

已知:b=2m,h=8m,h=BE=4m, =AE=3m。

解析:依据图意知;

闸门面积为。

闸门所受的总压力为

压力中心D距形心C的距离为

压力中心D距A点的距离为

静水总压力对端点A的力矩为

2-33 矩形平板闸门,宽b=0.8m,高h=1m,若要求箱中水深h超过2m时,闸门即可自动开启,铰链的位置y应设在何处?

已知:b=0.8m,h=1m,h≥2m。

解析:当铰链的位置高于压力中心的位置时,即y≥h-h时,闸门即可自动开启。闸门所受的总压力为

压力中心的位置为

那么,铰链的位置y为

2-34 金属的矩形平板闸门,宽1m,由两根工字钢横梁支撑。闸门高h=3m,容器中水面与闸门顶齐平,如要求两横梁所受的力相等,两工字钢的位置y和y应为多少?

已知:b=1m,h=3m。

解析:容器液面上的相对压力为,容器底面上的相对压力为,据此绘制矩形平板闸门的静压力分布图,如图所示。将静压力分布图的面积两等分,得△ABD和梯形BCDE。

由,得

由,得

比较以上两式,得;

由于△ABD的形心位于A点以下处,而总压力的作用线通过静压力分布图的形心,所以得

梯形BCDE的形心距离容器底面的距离为

所以

2-35 一弧形闸门,宽2m,圆心角α=30°,半径r=3m,闸门转轴与水平面齐平,求作用在闸门上的静水总压力的大小与方向(即合力与水平面的夹角)。

已知:b=2m,r=3m,α=30°。

解析:由图可知

弧形闸门所受的水平分力为

弧形闸门所受的水平分力为

总合力为

总合力与水平面的夹角为

2-36 一圆柱形闸门,长=10m,直径D=4m,上游水深h=4m,下游水深h=2m,求作用在该闸门上的静水总压力的大小与方向。

已知: =10m,D=4m,h=4m,h=2m。

解析:(1) 闸门左侧面所受的水平分力为

闸门右侧面所受的水平分力为

则,闸门所受的总水平分力为

(2) 依据题意可知,闸门左侧压力体的体积为圆柱体,闸门右侧压力体的体积为圆柱体,总压力体的体积为圆柱体。所以闸门所受的垂直分力为

总合力为

总合力与水平面的夹角为

2-37 图示为一封闭容器,宽b=2m,AB为一1/4圆弧闸门。容器内BC线以上为油,以下为水。U形测压计中液柱高差R=1m,闸门A处设一铰,求B点处力F为多少时才能把闸门关住。

已知:b=2m,R=1m,S1=0.8,S=3.0。

解析:(1) 设油水分界面上的相对压力为。由静力学方程得U型管液、水分界面上的相对压力为

则

A. 点的相对压力为
B. 圆弧闸门所受的水平分力为
C. 点以下)为
D. 水平分力的方向水平向左。
E. 圆弧闸门所受的垂直分力为
F. 垂直分力的方向垂直向上。
G. 点的水平距离为
点取矩,得
则
2-38 用一圆柱形圆木挡住左边的油,油层浮在水面上,设圆木正处于平衡状态,试求:(1)单位长圆木对岸的推力;(2)单位长圆木的重量;(3)圆木的比重。
R=0.8m,S油=0.8。
解析:(1) 由于圆木下部左右两侧所受水的水平作用力大小相等,方向相反,互相抵消,所以,圆木所受的水平分力为油的水平作用力,即
N。
(2) 根据图意可知,圆木上部油的压力体体积为,其垂直分力的方向向下;圆木下部水的压力体体积为,其垂直分力的方向向上。若设油水分界面上的相对压力为,,所以圆木所受的总垂直分力为
N。
(3) 圆木的比重为
R的封闭圆柱形容器内装满重度为γ的液体,测压管如图所示,试求:(1)作用在单位长AB面上的水平分力及作用线;(2)作用在单位长AB面上的铅垂分力及作用线。
R,γ。
D所在的水平面上的相对压力为0,则A点处的相对压力为。
B面上的水平分力为
点的垂直距离为
B面上的垂直分力为
垂直作用线距圆柱形容器中心的水平距离为。
h=1m,求此圆柱体所受的静水总压力。
h=1m,=1m,α=60°。
解析:(1) 由于圆柱体下部两侧所受的水平分力相等、相互抵消,所以,圆柱体所受的水平分力为
(2) 由图根据已知条件可知,压力体的体积为左下部半圆与右上方直角三角形的面积之和,所以,圆柱体所受的垂直分力为
垂直分力的方向向上。因此,圆柱体所受的静水总压力为
静水总压力与水平面的夹角为
H=2.0m,测压管中液面高出油库中液面的高度h=0.6m,石油重度为6867N/m3,试求液体作用在半球盖上的水平分力及铅垂分力。
H=2.0m,h=0.6m,γ=6867N/m3。
解析:(1) 油库中液面上的相对压力为
那么,液体作用在半球盖上的水平分力为
(2) 半球盖的压力体体积为球的体积,液面上压力p对半球盖上半部分作用的垂直分力,与对下半部分作用的垂直分力相等,相互抵消,所以,液体作用在半球盖上的铅垂分力为