19.设随机变量(X,Y)的概率密度为-|||-f(x,y)=-|||-,0lt xlt 1,0lt ylt x;-|||-0, 其他.-|||-(1)求X与Y的边缘概率密度;(2)求条件概率密度;(3)说明X与Y的独立性.

考查要点：本题主要考查联合概率密度的边缘密度、条件密度求解，以及随机变量独立性的判断。

解题思路：

1. 边缘概率密度：通过积分联合密度函数得到，注意积分变量和积分限的确定。
2. 条件概率密度：利用公式 $f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}$ 和 $f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$，结合给定条件下的变量范围求解。
3. 独立性判断：若 $f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$ 对所有 $x,y$ 成立，则 $X$ 与 $Y$ 独立，否则不独立。

关键点：

• 积分限的确定：根据联合密度函数的定义域，正确选择积分上下限。
• 归一化验证：条件概率密度的积分在给定条件下应为1。

(1) 求X与Y的边缘概率密度

X的边缘概率密度 $f_X(x)$

对联合密度函数 $f(x,y)=3x$ 在 $y$ 上积分：
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy = \int_{0}^{x} 3x \, dy = 3x \cdot x = 3x^2 \quad (0 < x < 1)$

Y的边缘概率密度 $f_Y(y)$

对联合密度函数 $f(x,y)=3x$ 在 $x$ 上积分。由于 $y$ 的取值范围为 $0 \leq y \leq 1$，当 $y$ 固定时，$x$ 的范围是 $y \leq x \leq 1$：
$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx = \int_{y}^{1} 3x \, dx = \frac{3}{2} \left(1^2 - y^2\right) = \frac{3}{2}(1 - y^2) \quad (0 \leq y \leq 1)$

(2) 求条件概率密度

条件概率密度 $f_{Y|X}(y|x)$

当 $0 < x \leq 1$ 时，$f_X(x) = 3x^2$，因此：
$f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)} = \frac{3x}{3x^2} = \frac{1}{x} \quad (0 < y \leq x)$

条件概率密度 $f_{X|Y}(x|y)$

当 $0 < y < 1$ 时，$f_Y(y) = \frac{3}{2}(1 - y^2)$，因此：
$f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} = \frac{3x}{\frac{3}{2}(1 - y^2)} = \frac{2x}{1 - y^2} \quad (y < x < 1)$

(3) 说明X与Y的独立性

若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$。验证：
$f_X(x)f_Y(y) = 3x^2 \cdot \frac{3}{2}(1 - y^2) = \frac{9}{2}x^2(1 - y^2) \neq 3x = f(x,y)$
因此，$X$ 与 $Y$ 不独立。