题目
设集合A=(1,2,3,4,5),A上的偏序关系如下图所示。2-|||-3-|||-4 5(1)写出该偏序关系的集合表达式。(2)写出A的最大元,最小元,极大元,极小元(3)写出子集B=(1,2,3)的上界,下界,上确界,下确界。
设集合A={1,2,3,4,5},A上的偏序关系如下图所示。
(1)写出该偏序关系的集合表达式。
(2)写出A的最大元,最小元,极大元,极小元
(3)写出子集B={1,2,3}的上界,下界,上确界,下确界。
题目解答
答案
解答：
偏序关系 R 的性质：
(1) 偏序关系 R 的集合表达式
根据哈斯图中的边，偏序关系可以表示为：
≤ = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4)}
(2) 集合 A 的最大元、最小元、极大元、极小元
最小元： 1
最大元： 4
极大元： 4, 5
极小元： 1, 5
(3) 子集 B = {1, 2, 3} 的上界、下界、上确界、下确界
上界： {4}
下界： {1}
上确界： 4
下确界： 1
解释：
最小元： 图中没有比 1 更小的元素，所以 1 是最小元。
最大元： 图中没有比 4 更大的元素，所以 4 是最大元。
极小元： 图中没有其他比 1 和 5 更小的元素，所以 1 和 5 是极小元。
极大元： 图中没有比 4 和 5 更大的元素，所以 4 和 5 是极大元。
上界： 所有比 B 中任意一个元素都大的元素。图中 B 的上界是 {2, 3, 4} 中的所有更大元素，因此上界是 {4}。
下界： 所有比 B 中任意一个元素都小的元素。图中 B 的下界是 {1}。
上确界： 子集 B 的上界中最小的元素。上确界是 {4}。
下确界： 子集 B 的下界中最大的元素。下确界是 {1}。
解析
步骤 1：偏序关系的集合表达式
根据哈斯图中的边，偏序关系可以表示为：≤ = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4)}。这里，每个元素对表示了偏序关系中的一个关系，即如果存在一条从元素a到元素b的路径，则a≤b。
步骤 2：集合A的最大元、最小元、极大元、极小元
最小元：1，因为没有比1更小的元素。
最大元：4，因为没有比4更大的元素。
极大元：4, 5，因为没有比4和5更大的元素。
极小元：1, 5，因为没有比1和5更小的元素。
步骤 3：子集B={1,2,3}的上界、下界、上确界、下确界
上界：{4}，因为4是比B中所有元素都大的元素。
下界：{1}，因为1是比B中所有元素都小的元素。
上确界：4，因为4是B的上界中最小的元素。
下确界：1，因为1是B的下界中最大的元素。
根据哈斯图中的边，偏序关系可以表示为：≤ = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4)}。这里，每个元素对表示了偏序关系中的一个关系，即如果存在一条从元素a到元素b的路径，则a≤b。
步骤 2：集合A的最大元、最小元、极大元、极小元
最小元：1，因为没有比1更小的元素。
最大元：4，因为没有比4更大的元素。
极大元：4, 5，因为没有比4和5更大的元素。
极小元：1, 5，因为没有比1和5更小的元素。
步骤 3：子集B={1,2,3}的上界、下界、上确界、下确界
上界：{4}，因为4是比B中所有元素都大的元素。
下界：{1}，因为1是比B中所有元素都小的元素。
上确界：4，因为4是B的上界中最小的元素。
下确界：1，因为1是B的下界中最大的元素。