题目

设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品。先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取两个零件，求：(1) 先取出的零件是一等品的概率；(2) 在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的概率。

设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品。先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取两个零件，求： (1) 先取出的零件是一等品的概率； (2) 在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的概率。

题目解答

答案

我们来逐步分析并解决这道概率题。

题目信息整理：

  • 第一箱： 共50件，其中一等品10件；
  • 第二箱： 共30件，其中一等品18件；
  • 抽样方式：
    1. 先从两箱中随机挑一箱（等概率）；
    2. 然后从此箱中不放回地取出两个零件。

(1) 先取出的零件是一等品的概率

我们设事件：

  • $ A $：先取出的零件是一等品；
  • $ B_1 $：挑中第一箱；
  • $ B_2 $：挑中第二箱。

由题意，$ P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2} $。

我们要求的是：
$P(A) = P(A \mid B_1)P(B_1) + P(A \mid B_2)P(B_2)$

分别计算：

  • 在第一箱中，一等品有10件，共50件，所以：
    $P(A \mid B_1) = \frac{10}{50} = 0.2$
  • 在第二箱中，一等品有18件，共30件，所以：
    $P(A \mid B_2) = \frac{18}{30} = 0.6$

代入公式：
$P(A) = 0.2 \times \frac{1}{2} + 0.6 \times \frac{1}{2} = 0.1 + 0.3 = 0.4$

✅ (1) 答案：

$\boxed{0.4}$

(2) 在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的概率

我们设事件：

  • $ C $：后取的零件是一等品；
  • 已知事件 $ A $：先取出的零件是一等品。

我们要求的是：
$P(C \mid A)$

根据条件概率的定义：
$P(C \mid A) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)}$

我们已经知道 $ P(A) = 0.4 $，现在计算 $ P(A \cap C) $，即“先取到一等品，后也取到一等品”的概率。

我们仍然使用全概率公式，按箱分类：

$P(A \cap C) = P(A \cap C \mid B_1)P(B_1) + P(A \cap C \mid B_2)P(B_2)$

分别计算：

对于第一箱（$ B_1 $）：

  • 先取一等品的概率：$ \frac{10}{50} $
  • 然后不放回地再取一等品的概率（剩下9个一等品，共49件）：$ \frac{9}{49} $
  • 所以：
    $P(A \cap C \mid B_1) = \frac{10}{50} \times \frac{9}{49} = \frac{90}{2450}$

对于第二箱（$ B_2 $）：

  • 先取一等品的概率：$ \frac{18}{30} $
  • 然后不放回地再取一等品的概率（剩下17个一等品，共29件）：$ \frac{17}{29} $
  • 所以：
    $P(A \cap C \mid B_2) = \frac{18}{30} \times \frac{17}{29} = \frac{306}{870}$

代入全概率公式：

$P(A \cap C) = \frac{90}{2450} \times \frac{1}{2} + \frac{306}{870} \times \frac{1}{2}$

先化简两个分数：

  • $ \frac{90}{2450} = \frac{9}{245} $
  • $ \frac{306}{870} = \frac{51}{145} $

所以：

$P(A \cap C) = \frac{1}{2} \left( \frac{9}{245} + \frac{51}{145} \right)$

统一分母：

  • $ \text{最小公倍数为 } 7105 $
  • $ \frac{9}{245} = \frac{261}{7105} $
  • $ \frac{51}{145} = \frac{2499}{7105} $

所以：
$P(A \cap C) = \frac{1}{2} \times \frac{261 + 2499}{7105} = \frac{1}{2} \times \frac{2760}{7105} = \frac{1380}{7105}$

最后计算条件概率：
$P(C \mid A) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)} = \frac{\frac{1380}{7105}}{0.4} = \frac{1380}{7105} \div \frac{2}{5} = \frac{1380}{7105} \times \frac{5}{2}$

$= \frac{6900}{14210} = \frac{690}{1421}$

✅ (2) 答案：

$\boxed{\frac{690}{1421}}$

总结：

  1. 先取出的零件是一等品的概率为：0.4
  2. 在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的概率为：$\boxed{\frac{690}{1421}}$

解析

考查要点：本题主要考查全概率公式和条件概率的应用，涉及分箱抽样、不放回抽取等情境。

解题思路：

  1. 第一问：通过全概率公式，分别计算从两箱中取出一等品的概率，再按等概率加权求和。
  2. 第二问：在已知第一次取出一等品的条件下，利用条件概率公式，结合全概率公式计算第二次仍取一等品的概率，需注意不放回导致的剩余数量变化。

破题关键：

  • 分箱讨论：明确两箱中一等品的比例差异。
  • 不放回影响：第二次抽取时，剩余零件总数和一等品数需调整。
  • 条件概率转换：通过联合概率与已知概率的比值计算条件概率。

第（1）题

目标：求第一次取出一等品的概率 $P(A)$。

  1. 全概率公式：
    $P(A) = P(A \mid B_1)P(B_1) + P(A \mid B_2)P(B_2)$
    其中 $P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$。

  2. 计算各箱概率：

    • 第一箱：$\frac{10}{50} = 0.2$
    • 第二箱：$\frac{18}{30} = 0.6$

  3. 加权求和：
    $P(A) = 0.2 \times \frac{1}{2} + 0.6 \times \frac{1}{2} = 0.4$

第（2）题

目标：求在第一次取出一等品的条件下，第二次仍取一等品的概率 $P(C \mid A)$。

  1. 条件概率公式：
    $P(C \mid A) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)}$
    其中 $P(A) = 0.4$，需计算 $P(A \cap C)$。

  2. 全概率公式计算联合概率：
    $P(A \cap C) = P(A \cap C \mid B_1)P(B_1) + P(A \cap C \mid B_2)P(B_2)$

  3. 分箱计算：

    • 第一箱：
      $P(A \cap C \mid B_1) = \frac{10}{50} \times \frac{9}{49} = \frac{9}{245}$
    • 第二箱：
      $P(A \cap C \mid B_2) = \frac{18}{30} \times \frac{17}{29} = \frac{51}{145}$

  4. 加权求和：
    $P(A \cap C) = \frac{1}{2} \left( \frac{9}{245} + \frac{51}{145} \right) = \frac{1380}{7105}$

  5. 代入条件概率公式：
    $P(C \mid A) = \frac{\frac{1380}{7105}}{0.4} = \frac{690}{1421}$