题目

设 A=(1,2,3,4),在 A×A 上定义二元关系 R<u, v>, <x, y>∈A×A, <u, v>R<x, y>u+y=x+v(1) 证明 R 是 A×A 上的等价关系。 (2) 确定由 R 引起的对 A×A 的划分。

设 A={1,2,3,4},在 A×A 上定义二元关系 R

<u, v>, <x, y>∈A×A, <u, v>R<x, y>u+y=x+v

(1) 证明 R 是 A×A 上的等价关系。 (2) 确定由 R 引起的对 A×A 的划分。

题目解答

答案

证明:(1) ①先证 R 具有自反性

<x, y>∈A×A

⏺

由于 x+y=x+y

再根据 R 的定义知 <<x, y>,<x, y>>∈R 所以 R 具有自反性.

②再证 R 具有对称性

<u, v>, <x, y>∈A×A, 若<<u, v>,<x, y>>∈R 则由 R 的定义知:u+y=x+v

所以 x+v = u+y

再由 R 的定义知 <<x, y>,<u, v>>∈R 所以 R 具有对称性.

③再证 R 具有传递性

<u, v>, <x, y>,<s, t>∈A×A, 若<<u, v>,<x, y>>∈R 并且<<x, y>,<s, t>>∈R

则由 R 的定义知:u+y=x+v 并且 x+t=s+y

根据上述两式知: u+t= s+v

再根据 R 的定义知 <<u, v>,<s, t>>∈R 所以 R 具有传递性。

综上所述 R 为 A×A 上的等价关系。

⏺

(2) A×A/R={{<1,4>},{<1,3>,<2,4>},{<1,2>,<2,3>,<3,4>},

{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>},{<2,1>,<3,2>,<4,3>},

{<3,1>,<4,2>},{<4,1>}}

解析

步骤 1：证明 R 具有自反性
对于任意的 ∈A×A，根据 R 的定义，有 x+y=x+y，所以 <,>∈R，因此 R 具有自反性。
步骤 2：证明 R 具有对称性
对于任意的 , ∈A×A，若 <,>∈R，则根据 R 的定义，有 u+y=x+v。因此，x+v=u+y，再根据 R 的定义，有 <,>∈R，因此 R 具有对称性。
步骤 3：证明 R 具有传递性
对于任意的 , ,∈A×A，若 <,>∈R 并且 <,>∈R，则根据 R 的定义，有 u+y=x+v 并且 x+t=s+y。根据上述两式，有 u+t=s+v，再根据 R 的定义，有 <,>∈R，因此 R 具有传递性。
综上所述，R 为 A×A 上的等价关系。
步骤 4：确定由 R 引起的对 A×A 的划分
根据 R 的定义，对于任意的 , ∈A×A，若 R，则 u+y=x+v。因此，对于任意的 ∈A×A，可以找到一个唯一的 k∈Z，使得 x+y=k。因此，A×A 可以被划分为若干个等价类，每个等价类中的元素满足 x+y=k。根据 A 的定义，可以得到 A×A 的划分如下：
A×A/R={{<1,4>},{<1,3>,<2,4>},{<1,2>,<2,3>,<3,4>},{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>},{<2,1>,<3,2>,<4,3>},{<3,1>,<4,2>},{<4,1>}}