题目
24.设随机变量X的概率密度函数为 _(x)(x)= ) (e)^-x,xgt 0 0, 的概率密度函
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量X的取值范围
随机变量X的概率密度函数为 ${f}_{x}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} {e}^{-x},x\gt 0,\\ 0,\end{matrix} \right.$，因此X的取值范围为 $(0,+\infty )$。
步骤 2：确定随机变量Y的取值范围
由于 $Y={e}^{x}$，当 $x\gt 0$ 时，$Y={e}^{x}\gt 1$，因此Y的取值范围为 $(1,+\infty )$。
步骤 3：求随机变量Y的概率密度函数
由于 $Y={e}^{x}$，其反函数为 $x=\ln y$，因此有 ${f}_{Y}(y)={f}_{x}(h(y))|h'(y)|$，其中 $h(y)=\ln y$，$h'(y)=\dfrac {1}{y}$。
将 ${f}_{x}(x)={e}^{-x}$ 代入，得到 ${f}_{Y}(y)={e}^{-\ln y}\cdot \dfrac {1}{y}=\dfrac {1}{{y}^{2}}$，$y\gt 1$。
随机变量X的概率密度函数为 ${f}_{x}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} {e}^{-x},x\gt 0,\\ 0,\end{matrix} \right.$，因此X的取值范围为 $(0,+\infty )$。
步骤 2：确定随机变量Y的取值范围
由于 $Y={e}^{x}$，当 $x\gt 0$ 时，$Y={e}^{x}\gt 1$，因此Y的取值范围为 $(1,+\infty )$。
步骤 3：求随机变量Y的概率密度函数
由于 $Y={e}^{x}$，其反函数为 $x=\ln y$，因此有 ${f}_{Y}(y)={f}_{x}(h(y))|h'(y)|$，其中 $h(y)=\ln y$，$h'(y)=\dfrac {1}{y}$。
将 ${f}_{x}(x)={e}^{-x}$ 代入，得到 ${f}_{Y}(y)={e}^{-\ln y}\cdot \dfrac {1}{y}=\dfrac {1}{{y}^{2}}$，$y\gt 1$。