计算：underset(lim)(n→∞)(1)/(n)[sin(π)/(n)+sin(2π)/(n)+…+sin(（n-1）π)/(n)]．
题目解答
答案
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{π}$$\sum_{i=0}^{n-1}sin\frac{iπ}{n}•\frac{π}{n}$
=$\frac{1}{π}$${∫}_{0}^{π}sinxdx$
=$\frac{1}{π}$（-cosx）${|}_{0}^{π}$
=$\frac{1}{π}$•[（-cosπ）-（-cos0）]
=$\frac{2}{π}$．
解析
考查要点：本题主要考查数列极限与定积分的关系，需要将求和表达式转化为定积分形式进行计算。
解题核心思路：
当$n$趋近于无穷大时，求和式$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)$可以近似为积分。关键在于识别出求和的结构与黎曼和的对应关系，通过调整系数将求和转化为定积分$\int_{0}^{\pi}\sin x \, dx$。
破题关键点：
- 变量替换：令$x_k = \frac{k\pi}{n}$，则$\Delta x = \frac{\pi}{n}$，求和步长对应积分的小区间宽度。
- 系数调整：原式中的$\frac{1}{n}$需转化为积分中的$\frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{n}$，从而匹配定积分形式。
步骤1：构造黎曼和
将原式改写为：
$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) \cdot \frac{\pi}{n}.$
此时，$\frac{\pi}{n}$是积分的小区间宽度$\Delta x$，$\frac{k\pi}{n}$是积分点$x_k$，求和形式对应定积分的黎曼和。
步骤2：取极限转化为积分
当$n \to \infty$时，黎曼和趋近于定积分：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) \cdot \frac{\pi}{n} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx.$
步骤3：计算积分
$\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = -\cos x \Big|_{0}^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = -(-1) + 1 = 2.$
步骤4：最终结果
将积分结果代入：
$\frac{1}{\pi} \cdot 2 = \frac{2}{\pi}.$