[题目]-|||-设 (x,r)-N((mu )_(1),(mu )_(2),({sigma )_(1)}^2,({sigma )_(2)}^2,rho ) ,则-|||-X和Y相互独立的充分必要条件是 rho =0.

考查要点：本题主要考查二维正态分布中随机变量独立性的判定条件，重点在于理解相关系数$\rho$与独立性的关系。

解题核心思路：

1. 充分性：当$\rho=0$时，二维正态分布的联合概率密度函数可分解为两个独立正态分布的乘积，从而证明独立。
2. 必要性：若$X$和$Y$独立，则联合密度函数等于边缘密度函数的乘积，通过代入二维正态分布的密度函数形式推导出$\rho=0$。

破题关键点：

• 二维正态分布的独立性与相关系数的直接关系：在二维正态分布中，不相关（$\rho=0$）与独立是等价的。
• 联合密度函数的分解：当$\rho=0$时，联合密度函数的指数部分简化为两个独立项的和，从而可分解为边缘密度的乘积。

充分性证明（$\rho=0 \Rightarrow X$与$Y$独立）

当$\rho=0$时，二维正态分布的联合概率密度函数为：
$f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2} \exp\left\{ -\frac{1}{2}\left[ \frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} \right] \right\}$
该表达式可分解为：
$f(x,y) = \left( \frac{1}{\sigma_1\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ -\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2} \right\} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sigma_2\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ -\frac{(y-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2} \right\} \right)$
即：
$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$
因此，$X$与$Y$相互独立。

必要性证明（$X$与$Y$独立 $\Rightarrow \rho=0$）

若$X$与$Y$独立，则联合密度函数满足：
$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$
将二维正态分布的联合密度函数代入：
$\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[ \left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2 - 2\rho\left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)\left(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right) + \left(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right)^2 \right] \right\}$
若要与独立时的乘积形式一致，指数部分必须分解为仅含$x$和仅含$y$的项。观察交叉项$-2\rho\left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)\left(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right)$，当且仅当$\rho=0$时，交叉项消失，此时指数部分可分解为两个独立项的和，从而满足独立条件。