题目
4.求函数f(x,y)=x-x^2-y^2在D=(x,y)mid x^2+y^2leq1上的最大值和最小值.
4.求函数$f(x,y)=x-x^{2}-y^{2}$在$D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq1\}$上的最大值和最小值.
题目解答
答案
1. **求内部极值**：
计算偏导数 $ f_x = 1 - 2x $，$ f_y = -2y $，令其为零得 $ x = \frac{1}{2} $，$ y = 0 $。
代入函数得 $ f\left(\frac{1}{2}, 0\right) = \frac{1}{4} $。
2. **求边界极值**：
边界 $ x^2 + y^2 = 1 $，设 $ x = \cos\theta $，$ y = \sin\theta $，则
$ f(\cos\theta, \sin\theta) = \cos\theta - 1 $，范围为 $[-2, 0]$。
最大值为 $ 0 $（当 $ \theta = 0 $ 或 $ 2\pi $），最小值为 $ -2 $（当 $ \theta = \pi $）。
3. **比较极值**：
内部极值 $ \frac{1}{4} $，边界极值 $[ -2, 0 ]$。
**最大值**：$ \frac{1}{4} $，**最小值**：$ -2 $。
**答案**：
最大值 $ \boxed{\frac{1}{4}} $，最小值 $ \boxed{-2} $。
解析
步骤 1：求内部极值
计算偏导数 $f_x = 1 - 2x$，$f_y = -2y$，令其为零得 $x = \frac{1}{2}$，$y = 0$。代入函数得 $f\left(\frac{1}{2}, 0\right) = \frac{1}{4}$。
步骤 2：求边界极值
边界 $x^2 + y^2 = 1$，设 $x = \cos\theta$，$y = \sin\theta$，则 $f(\cos\theta, \sin\theta) = \cos\theta - 1$，范围为 $[-2, 0]$。最大值为 $0$（当 $\theta = 0$ 或 $2\pi$），最小值为 $-2$（当 $\theta = \pi$）。
步骤 3：比较极值
内部极值 $\frac{1}{4}$，边界极值 $[-2, 0]$。
计算偏导数 $f_x = 1 - 2x$，$f_y = -2y$，令其为零得 $x = \frac{1}{2}$，$y = 0$。代入函数得 $f\left(\frac{1}{2}, 0\right) = \frac{1}{4}$。
步骤 2：求边界极值
边界 $x^2 + y^2 = 1$，设 $x = \cos\theta$，$y = \sin\theta$，则 $f(\cos\theta, \sin\theta) = \cos\theta - 1$，范围为 $[-2, 0]$。最大值为 $0$（当 $\theta = 0$ 或 $2\pi$），最小值为 $-2$（当 $\theta = \pi$）。
步骤 3：比较极值
内部极值 $\frac{1}{4}$，边界极值 $[-2, 0]$。