9、单选题（4分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=}ke^-(3x+4y)&x>0,y>00&其它,则k=（）A. 3B. 12C. 4D. 6

本题考查二维随机变量概率密度函数的性质。解题思路是利用二维随机变量概率密度函数在全平面上的二重积分等于$1$这一性质来求解$k$的值。

1. 首先明确概率密度函数的性质：对于二维随机变量$(X,Y)$的概率密度函数$f(x,y)$，有$\iint_{\mathbb{R}^2} f(x, y) \, dx \, dy = 1$。
2. 然后根据已知的概率密度函数$f(x, y) = \begin{cases} ke^{-(3x + 4y)} & x > 0, y > 0 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$，确定积分区域为$x > 0$和$y > 0$，则积分式变为$\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} ke^{-(3x + 4y)} \, dx \, dy = 1$。
3. 接着利用积分的可分离性，将二重积分拆分为两个定积分的乘积：
   • 根据指数函数的性质$e^{a+b}=e^a\cdot e^b$，可得$e^{-(3x + 4y)}=e^{-3x}\cdot e^{-4y}$，那么$\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} ke^{-(3x + 4y)} \, dx \, dy = k\int_{0}^{\infty} e^{-3x} \, dx \int_{0}^{\infty} e^{-4y} \, dy$。
4. 再分别计算两个定积分：
   • 对于$\int_{0}^{\infty} e^{-3x} \, dx$，令$u = -3x$，则$du=-3dx$，当$x = 0$时，$u = 0$；当$x\to\infty$时，$u\to-\infty$，$\int_{0}^{\infty} e^{-3x} \, dx=-\frac{1}{3}\int_{0}^{-\infty} e^{u} \, du=\frac{1}{3}\int_{-\infty}^{0} e^{u} \, du$。
   • 根据指数函数积分公式$\int e^u du = e^u + C$，可得$\frac{1}{3}\int_{-\infty}^{0} e^{u} \, du=\frac{1}{3}[e^u]_{-\infty}^{0}=\frac{1}{3}(1 - 0)=\frac{1}{3}$。
   • 同理，对于$\int_{0}^{\infty} e^{-4y} \, dy$，令$v = -4y$，则$dv=-4dy$，当$y = 0$时，$v = 0$；当$y\to\infty$时，$v\to-\infty$，$\int_{0}^{\infty} e^{-4y} \, dy=-\frac{1}{4}\int_{0}^{-\infty} e^{v} \, dv=\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{0} e^{v} \, dv$。
   • 所以$\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{0} e^{v} \, dv=\frac{1}{4}[e^v]_{-\infty}^{0}=\frac{1}{4}(1 - 0)=\frac{1}{4}$。
5. 最后将两个积分结果代入$k\int_{0}^{\infty} e^{-3x} \, dx \int_{0}^{\infty} e^{-4y} \, dy = 1$中：
   • 得到$k\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=1$，即$k\times\frac{1}{12}=1$。
   • 两边同时乘以$12$，解得$k = 12$。