题目
求三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3的交点
求三平面$$x+3y+z=1$$,$$2x-y-z=0$$,$$-x+2y+2z=3$$的交点
题目解答
答案
解析
步骤 1：联立方程组
联立三平面方程 $\left \{ \begin{matrix} x+3y+z=1,\\ 2x-y-z=0,\\ -x+2y+2z=3\end{matrix} \right.$，得到一个线性方程组。
步骤 2：消元法求解
使用消元法求解方程组。首先，将第一个方程乘以2，得到 $2x+6y+2z=2$，然后减去第二个方程，得到 $7y+3z=2$。接着，将第一个方程加上第三个方程，得到 $5y+3z=4$。现在我们有两个方程：$7y+3z=2$ 和 $5y+3z=4$。将这两个方程相减，得到 $2y=-2$，从而得到 $y=-1$。将 $y=-1$ 代入 $7y+3z=2$，得到 $-7+3z=2$，从而得到 $z=3$。最后，将 $y=-1$ 和 $z=3$ 代入第一个方程，得到 $x+3(-1)+3=1$，从而得到 $x=1$。
步骤 3：验证解
将 $x=1$，$y=-1$，$z=3$ 代入原方程组，验证是否满足所有方程。第一个方程：$1+3(-1)+3=1$，满足；第二个方程：$2(1)-(-1)-3=0$，满足；第三个方程：$-(1)+2(-1)+2(3)=3$，满足。因此，解是正确的。
联立三平面方程 $\left \{ \begin{matrix} x+3y+z=1,\\ 2x-y-z=0,\\ -x+2y+2z=3\end{matrix} \right.$，得到一个线性方程组。
步骤 2：消元法求解
使用消元法求解方程组。首先，将第一个方程乘以2，得到 $2x+6y+2z=2$，然后减去第二个方程，得到 $7y+3z=2$。接着，将第一个方程加上第三个方程，得到 $5y+3z=4$。现在我们有两个方程：$7y+3z=2$ 和 $5y+3z=4$。将这两个方程相减，得到 $2y=-2$，从而得到 $y=-1$。将 $y=-1$ 代入 $7y+3z=2$，得到 $-7+3z=2$，从而得到 $z=3$。最后，将 $y=-1$ 和 $z=3$ 代入第一个方程，得到 $x+3(-1)+3=1$，从而得到 $x=1$。
步骤 3：验证解
将 $x=1$，$y=-1$，$z=3$ 代入原方程组，验证是否满足所有方程。第一个方程：$1+3(-1)+3=1$，满足；第二个方程：$2(1)-(-1)-3=0$，满足；第三个方程：$-(1)+2(-1)+2(3)=3$，满足。因此，解是正确的。