设 n 阶实方阵 A 可逆，已知它的行列式 |A|=a ， A^* 是 A 的伴随矩阵，则 |A^*|= （ ）.A. aB. a^-1C. a^n-1D. a^n

考查要点：本题主要考查伴随矩阵的性质及其行列式的计算，需要掌握伴随矩阵与原矩阵的关系，以及行列式的运算性质。

解题核心思路：
利用伴随矩阵与原矩阵的关系式 $A A^* = |A|I$，通过取行列式并结合行列式的乘积性质，推导出 $|A^*|$ 的表达式。

破题关键点：

1. 伴随矩阵的定义与性质：明确伴随矩阵满足 $A A^* = |A|I$。
2. 行列式的运算规则：特别是标量乘法对行列式的影响（$|kA| = k^n |A|$）和行列式的乘积性质（$|AB| = |A||B|$）。
3. 逆矩阵的行列式：$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$。

步骤1：利用伴随矩阵与原矩阵的关系
根据伴随矩阵的性质，有：
$A A^* = |A|I$
其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。

步骤2：对等式两边取行列式
对等式两边取行列式，利用行列式的乘积性质：
$|A A^*| = ||A|I|$
左边可分解为：
$|A| \cdot |A^*|$
右边为标量 $|A|$ 乘以单位矩阵 $I$ 的行列式，即：
$|A|^n \cdot |I| = |A|^n$
因此得到方程：
$|A| \cdot |A^*| = |A|^n$

步骤3：解方程求 $|A^*|$
两边同时除以 $|A|$（因 $A$ 可逆，$|A| \neq 0$）：
$|A^*| = |A|^{n-1}$
代入已知条件 $|A| = a$，得：
$|A^*| = a^{n-1}$