求解下列不等式:(1) |1-2x| leq 7;(2) |x-2| - |4-2x| leq -1;(3) |2x-3| leq x+1;(4) |(x)/(x+1)| > (x)/(x+1).

我们来逐题分析并求解这四个不等式。 --- ### **(1) $ |1 - 2x| \leq 7 $** #### 解题过程： 这是一个**绝对值不等式**，我们使用绝对值的性质： $$ |A| \leq B \iff -B \leq A \leq B $$ 令 $ A = 1 - 2x $，$ B = 7 $，则： $$ -7 \leq 1 - 2x \leq 7 $$ 我们把这个不等式分成两部分： 1. $ 1 - 2x \geq -7 $ $$ -2x \geq -8 \Rightarrow x \leq 4 $$ 2. $ 1 - 2x \leq 7 $ $$ -2x \leq 6 \Rightarrow x \geq -3 $$ #### 所以解集为： $$ \boxed{-3 \leq x \leq 4} $$ --- ### **(2) $ |x - 2| - |4 - 2x| \leq -1 $** #### 解题过程： 我们先整理一下右边的表达式： $$ |x - 2| - |4 - 2x| \leq -1 $$ 注意到 $ |4 - 2x| = |2x - 4| $，所以可以改写为： $$ |x - 2| - |2x - 4| \leq -1 $$ 我们考虑**分段讨论法**，根据绝对值内部的表达式符号进行分段。 #### 分界点： - $ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 $ - $ 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 $ 所以只需要在 $ x = 2 $ 处分段。 --- #### 情况 1：$ x < 2 $ 此时： - $ x - 2 < 0 \Rightarrow |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x $ - $ 2x - 4 < 0 \Rightarrow |2x - 4| = -(2x - 4) = 4 - 2x $ 所以原式变为： $$ (2 - x) - (4 - 2x) = 2 - x - 4 + 2x = x - 2 $$ 要求： $$ x - 2 \leq -1 \Rightarrow x \leq 1 $$ 所以当 $ x < 2 $ 时，解为 $ x \leq 1 $ --- #### 情况 2：$ x \geq 2 $ 此时： - $ x - 2 \geq 0 \Rightarrow |x - 2| = x - 2 $ - $ 2x - 4 \geq 0 \Rightarrow |2x - 4| = 2x - 4 $ 所以原式变为： $$ (x - 2) - (2x - 4) = x - 2 - 2x + 4 = -x + 2 $$ 要求： $$ -x + 2 \leq -1 \Rightarrow -x \leq -3 \Rightarrow x \geq 3 $$ 所以当 $ x \geq 2 $ 时，解为 $ x \geq 3 $ --- #### 合并解集： - 当 $ x < 2 $ 时，$ x \leq 1 $ - 当 $ x \geq 2 $ 时，$ x \geq 3 $ 所以整体解集为： $$ \boxed{x \leq 1 \quad \text{或} \quad x \geq 3} $$ --- ### **(3) $ |2x - 3| \leq x + 1 $** #### 解题过程： 这是一个**绝对值小于等于某个表达式**的不等式。 我们使用： $$ |A| \leq B \iff -B \leq A \leq B $$ 令 $ A = 2x - 3 $，$ B = x + 1 $，则： $$ -(x + 1) \leq 2x - 3 \leq x + 1 $$ 我们分两个不等式来解： --- #### 1. $ -(x + 1) \leq 2x - 3 $ $$ -x - 1 \leq 2x - 3 \Rightarrow -x - 1 - 2x \leq -3 \Rightarrow -3x - 1 \leq -3 \Rightarrow -3x \leq -2 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3} $$ --- #### 2. $ 2x - 3 \leq x + 1 $ $$ 2x - 3 - x \leq 1 \Rightarrow x - 3 \leq 1 \Rightarrow x \leq 4 $$ --- #### 所以解集为： $$ \boxed{\frac{2}{3} \leq x \leq 4} $$ --- ### **(4) $ \left| \frac{x}{x+1} \right| > \frac{x}{x+1} $** #### 解题过程： 我们观察不等式： $$ \left| \frac{x}{x+1} \right| > \frac{x}{x+1} $$ 设 $ y = \frac{x}{x+1} $，则不等式变为： $$ |y| > y $$ 我们来分析这个不等式成立的条件： $$ |y| > y \iff y < 0 $$ 因为当 $ y \geq 0 $ 时，$ |y| = y $，不满足 $ |y| > y $； 当 $ y < 0 $ 时，$ |y| = -y > y $，满足不等式。 所以原不等式成立当且仅当： $$ \frac{x}{x+1} < 0 $$ 我们来解这个不等式： $$ \frac{x}{x+1} < 0 $$ 分式小于 0 的条件是：分子和分母异号。 所以： - $ x > 0 $ 且 $ x + 1 < 0 \Rightarrow x > 0 $ 且 $ x < -1 $：**不可能** - $ x < 0 $ 且 $ x + 1 > 0 \Rightarrow x < 0 $ 且 $ x > -1 \Rightarrow -1 < x < 0 $ 所以解集为： $$ \boxed{-1 < x < 0} $$ --- ### ✅ 最终答案汇总： 1. $ \boxed{-3 \leq x \leq 4} $ 2. $ \boxed{x \leq 1 \quad \text{或} \quad x \geq 3} $ 3. $ \boxed{\frac{2}{3} \leq x \leq 4} $ 4. $ \boxed{-1 < x < 0} $