题目
5.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概-|||-率密度为-|||-_(Y)(y)= {e)^-y/2,ygt 0, 0,yleqslant 0+2Xa+Y=0 试求a有实根的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求X和Y的联合概率密度
由于X和Y是相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，其概率密度函数为 ${f}_{X}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} 1,0\lt x\lt 1,\\ 0,其他.\end{matrix} \right.$
Y的概率密度函数为 ${f}_{Y}(y)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2}{e}^{-y/2},y\gt 0,\\ 0,y\leqslant 0\end{matrix} \right.$
因此，X和Y的联合概率密度函数为 ${f}_{X,Y}(x,y)={f}_{X}(x){f}_{Y}(y)$
步骤 2：求a有实根的概率
对于二次方程 ${a}^{2}+2Xa+Y=0$，其判别式为 $\Delta =4{X}^{2}-4Y$。a有实根的条件是 $\Delta \geqslant 0$，即 ${X}^{2}\geqslant Y$。
因此，a有实根的概率为 $P({X}^{2}\geqslant Y)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{{x}^{2}}{f}_{X,Y}(x,y)dydx$
由于X和Y是相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，其概率密度函数为 ${f}_{X}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} 1,0\lt x\lt 1,\\ 0,其他.\end{matrix} \right.$
Y的概率密度函数为 ${f}_{Y}(y)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2}{e}^{-y/2},y\gt 0,\\ 0,y\leqslant 0\end{matrix} \right.$
因此，X和Y的联合概率密度函数为 ${f}_{X,Y}(x,y)={f}_{X}(x){f}_{Y}(y)$
步骤 2：求a有实根的概率
对于二次方程 ${a}^{2}+2Xa+Y=0$，其判别式为 $\Delta =4{X}^{2}-4Y$。a有实根的条件是 $\Delta \geqslant 0$，即 ${X}^{2}\geqslant Y$。
因此，a有实根的概率为 $P({X}^{2}\geqslant Y)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{{x}^{2}}{f}_{X,Y}(x,y)dydx$