设f(x)=}e^x+1&xA. f(x)在x=0处连续B. f(x)在x=0处有极限,不连续C. f(x)在x=0处无极限D. f(x)在x=0处连续,无极限

本题考查分段函数在分段点处的极限与连续性。解题思路是先分别求出函数在$x = 0$处的左极限和右极限，根据极限存在的充要条件判断函数在$x = 0$处是否有极限，再根据函数连续的定义判断函数在$x = 0$处是否连续。

步骤一：求函数$f(x)$在$x = 0$处的左极限$\lim\limits_{x \to 0^{-}}f(x)$

当$x\to 0^{-}$时，即$x$从左侧趋近于$0$，此时$x\lt 0$，$f(x)=e^{x}+1$。
根据指数函数的连续性，可得：
$\lim\limits_{x \to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x \to 0^{-}}(e^{x}+1)$
根据极限的加法法则$\lim\limits_{x \to a}(u(x)+v(x))=\lim\limits_{x \to a}u(x)+\lim\limits_{x \to a}v(x)$，可得：
$\lim\limits_{x \to 0^{-}}(e^{x}+1)=\lim\limits_{x \to 0^{-}}e^{x}+\lim\limits_{x \to 0^{-}}1$
因为$\lim\limits_{x \to 0^{-}}e^{x}=e^{0}=1$，$\lim\limits_{x \to 0^{-}}1 = 1$，所以：
$\lim\limits_{x \to 0^{-}}f(x)=1 + 1 = 2$

步骤二：求函数$f(x)$在$x = 0$处的右极限$\lim\limits_{x \to 0^{+}}f(x)$

当$x\to 0^{+}$时，即$x$从右侧趋近于$0$，此时$x\geqslant 0$，$f(x)=2x$。
根据一次函数的连续性，可得：
$\lim\limits_{x \to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to 0^{+}}2x$
根据极限的常数倍数法则$\lim\limits_{x \to a}(cu(x))=c\lim\limits_{x \to a}u(x)$（$c$为常数），可得：
$\lim\limits_{x \to 0^{+}}2x=2\lim\limits_{x \to 0^{+}}x$
因为$\lim\limits_{x \to 0^{+}}x = 0$，所以：
$\lim\limits_{x \to 0^{+}}f(x)=2\times 0 = 0$

步骤三：判断函数$f(x)$在$x = 0$处是否有极限

函数在某点处极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等，即$\lim\limits_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=\lim\limits_{x \to x_{0}^{+}}f(x)$。
由步骤一可知$\lim\limits_{x \to 0^{-}}f(x)=2$，由步骤二可知$\lim\limits_{x \to 0^{+}}f(x)=0$，因为$2\neq 0$，即$\lim\limits_{x \to 0^{-}}f(x)\neq\lim\limits_{x \to 0^{+}}f(x)$，所以函数$f(x)$在$x = 0$处无极限。

步骤四：判断函数$f(x)$在$x = 0$处是否连续

函数在某点处连续的充要条件是函数在该点处的极限存在且等于该点处的函数值，即$\lim\limits_{x \to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$。
由于函数$f(x)$在$x = 0$处无极限，所以函数$f(x)$在$x = 0$处不连续。