题目
极限underset(lim)(x→+∞)（sinsqrt(x+1)-sinsqrt(x)）= ____ ．
极限$\underset{lim}{x→+∞}$（sin$\sqrt{x+1}$-sin$\sqrt{x}$）= ____ ．
题目解答
答案
解：$sin\sqrt{x+1}-sin\sqrt{x}$=$2cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}$=$2cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}sin\frac{1}{2（\sqrt{x+1}+\sqrt{x}）}$；
$|cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}|≤1$，$\underset{lim}{x→+∞}sin\frac{1}{2（\sqrt{x+1}+\sqrt{x}）}=0$；
∴$\underset{lim}{x→+∞}（sin\sqrt{x+1}-\sqrt{x}）=0$．
故答案为：0．
$|cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}|≤1$，$\underset{lim}{x→+∞}sin\frac{1}{2（\sqrt{x+1}+\sqrt{x}）}=0$；
∴$\underset{lim}{x→+∞}（sin\sqrt{x+1}-\sqrt{x}）=0$．
故答案为：0．
解析
步骤 1：应用三角函数的和差化积公式
根据三角函数的和差化积公式，我们有：
$sin\sqrt{x+1}-sin\sqrt{x} = 2cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}$
步骤 2：简化表达式
注意到$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$可以进一步简化为$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$，因此：
$sin\sqrt{x+1}-sin\sqrt{x} = 2cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}sin\frac{1}{2（\sqrt{x+1}+\sqrt{x}）}$
步骤 3：分析极限
当$x→+∞$时，$cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}$的值在[-1,1]之间，而$sin\frac{1}{2（\sqrt{x+1}+\sqrt{x}）}$的值趋向于0，因为分母趋向于无穷大。
根据三角函数的和差化积公式，我们有：
$sin\sqrt{x+1}-sin\sqrt{x} = 2cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}$
步骤 2：简化表达式
注意到$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$可以进一步简化为$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$，因此：
$sin\sqrt{x+1}-sin\sqrt{x} = 2cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}sin\frac{1}{2（\sqrt{x+1}+\sqrt{x}）}$
步骤 3：分析极限
当$x→+∞$时，$cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}$的值在[-1,1]之间，而$sin\frac{1}{2（\sqrt{x+1}+\sqrt{x}）}$的值趋向于0，因为分母趋向于无穷大。