题目
已知三个非零向量overrightarrow(a)，overrightarrow(b)，overrightarrow(c)中任意两个向量都不平行，但overrightarrow(a)+overrightarrow(b)平行于overrightarrow(c)，overrightarrow(b)+overrightarrow(c)平行于overrightarrow(a)，求证：overrightarrow(a)+overrightarrow(b)+overrightarrow(c)=overrightarrow(0)．
已知三个非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$中任意两个向量都不平行，但$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$平行于$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$平行于$\overrightarrow{a}$，求证：$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$$+\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$．
题目解答
答案
证明：∵$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$平行于$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=λ\overrightarrow{c}$，即$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=（λ+1）\overrightarrow{c}$，
∵$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$平行于$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=μ\overrightarrow{a}$，即$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=（1+μ）\overrightarrow{a}$，
∴$（1+λ）\overrightarrow{c}=（1+μ）\overrightarrow{a}$，
∵三个非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$中任意两个向量都不平行，
∴1+λ=1+μ=0，解得λ=μ=-1，
故$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$$+\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$．
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=λ\overrightarrow{c}$，即$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=（λ+1）\overrightarrow{c}$，
∵$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$平行于$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=μ\overrightarrow{a}$，即$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=（1+μ）\overrightarrow{a}$，
∴$（1+λ）\overrightarrow{c}=（1+μ）\overrightarrow{a}$，
∵三个非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$中任意两个向量都不平行，
∴1+λ=1+μ=0，解得λ=μ=-1，
故$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$$+\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$．