题目
已知质点P绕点M逆时针做匀速圆周运动（如图1），质点P相对于水平直线l的位置用y（米）表示，质点在l上方时，y为正，反之，y为负，|y|是质点与直线l的距离，位置y与时间t（秒）之间的关系为y=Asin（ωt+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜(π)/(2)）其图象如图2所示．（1）写出质点P运动的圆形轨道半径及从初始位置到最高点所需要的时间；（2）求y=Asin（ωt+φ）的解析式，并指出质点P第二次出现在直线l上的时刻．yt-|||-1-|||-2 t(秒)-|||-`p 3-|||--1-|||-图1 图2
已知质点P绕点M逆时针做匀速圆周运动（如图1），质点P相对于水平直线l的位置用y（米）表示，质点在l上方时，y为正，反之，y为负，|y|是质点与直线l的距离，位置y与时间t（秒）之间的关系为y=Asin（ωt+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）其图象如图2所示．
（1）写出质点P运动的圆形轨道半径及从初始位置到最高点所需要的时间；
（2）求y=Asin（ωt+φ）的解析式，并指出质点P第二次出现在直线l上的时刻．
（1）写出质点P运动的圆形轨道半径及从初始位置到最高点所需要的时间；
（2）求y=Asin（ωt+φ）的解析式，并指出质点P第二次出现在直线l上的时刻．
题目解答
答案
解（1）圆形轨道半径就是函数的振幅A=2，从初始位置到最高点所需要的时间为$\frac{2}{3}$秒
（2）t=0时，y=-1，∴-1=2sinφ，∴sinφ=-$\frac{1}{2}$，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$，
∴y=2sin（ωt-$\frac{π}{6}$），
又函数图象过（$\frac{2}{3}$，2），
∴2=2sin（$\frac{2}{3}$ω-$\frac{π}{6}$），∴sin（$\frac{2}{3}$ω-$\frac{π}{6}$）=1，
∴$\frac{2}{3}$ω-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，取k=0，得
∴ω=π，∴y=2sin（πt-$\frac{π}{6}$），
令y=0得2sin（πt-$\frac{π}{6}$）=0，∴πt-$\frac{π}{6}$=π，∴t=$\frac{7}{6}$秒，
∴质点P第二次出现在直线l上的时刻为$\frac{7}{6}$
（2）t=0时，y=-1，∴-1=2sinφ，∴sinφ=-$\frac{1}{2}$，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$，
∴y=2sin（ωt-$\frac{π}{6}$），
又函数图象过（$\frac{2}{3}$，2），
∴2=2sin（$\frac{2}{3}$ω-$\frac{π}{6}$），∴sin（$\frac{2}{3}$ω-$\frac{π}{6}$）=1，
∴$\frac{2}{3}$ω-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，取k=0，得
∴ω=π，∴y=2sin（πt-$\frac{π}{6}$），
令y=0得2sin（πt-$\frac{π}{6}$）=0，∴πt-$\frac{π}{6}$=π，∴t=$\frac{7}{6}$秒，
∴质点P第二次出现在直线l上的时刻为$\frac{7}{6}$
解析
步骤 1：确定圆形轨道半径
根据题目中给出的函数y=Asin（ωt+φ），其中A表示振幅，即质点P运动的圆形轨道半径。从图2中可以看出，振幅A=2米。
步骤 2：确定从初始位置到最高点所需时间
从图2中可以看出，质点P从初始位置到最高点所需的时间为$\frac{2}{3}$秒。
步骤 3：确定y=Asin（ωt+φ）的解析式
根据题目中给出的函数y=Asin（ωt+φ），其中A=2，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$。从图2中可以看出，当t=0时，y=-1，代入y=Asin（ωt+φ）中，得到-1=2sinφ，解得sinφ=-$\frac{1}{2}$。又因为|φ|＜$\frac{π}{2}$，所以φ=-$\frac{π}{6}$。因此，y=2sin（ωt-$\frac{π}{6}$）。又因为函数图象过（$\frac{2}{3}$，2），代入y=2sin（ωt-$\frac{π}{6}$）中，得到2=2sin（$\frac{2}{3}$ω-$\frac{π}{6}$），解得ω=π。因此，y=2sin（πt-$\frac{π}{6}$）。
步骤 4：确定质点P第二次出现在直线l上的时刻
令y=0，代入y=2sin（πt-$\frac{π}{6}$）中，得到2sin（πt-$\frac{π}{6}$）=0，解得πt-$\frac{π}{6}$=π，解得t=$\frac{7}{6}$秒。
根据题目中给出的函数y=Asin（ωt+φ），其中A表示振幅，即质点P运动的圆形轨道半径。从图2中可以看出，振幅A=2米。
步骤 2：确定从初始位置到最高点所需时间
从图2中可以看出，质点P从初始位置到最高点所需的时间为$\frac{2}{3}$秒。
步骤 3：确定y=Asin（ωt+φ）的解析式
根据题目中给出的函数y=Asin（ωt+φ），其中A=2，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$。从图2中可以看出，当t=0时，y=-1，代入y=Asin（ωt+φ）中，得到-1=2sinφ，解得sinφ=-$\frac{1}{2}$。又因为|φ|＜$\frac{π}{2}$，所以φ=-$\frac{π}{6}$。因此，y=2sin（ωt-$\frac{π}{6}$）。又因为函数图象过（$\frac{2}{3}$，2），代入y=2sin（ωt-$\frac{π}{6}$）中，得到2=2sin（$\frac{2}{3}$ω-$\frac{π}{6}$），解得ω=π。因此，y=2sin（πt-$\frac{π}{6}$）。
步骤 4：确定质点P第二次出现在直线l上的时刻
令y=0，代入y=2sin（πt-$\frac{π}{6}$）中，得到2sin（πt-$\frac{π}{6}$）=0，解得πt-$\frac{π}{6}$=π，解得t=$\frac{7}{6}$秒。