已知 dfrac (sin x)(x) 是f(x)的一个原函数,求 int (x)^3f'(x)dx

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及原函数与导数的关系。关键在于正确求出$f(x)$的表达式，并通过分部积分法逐步简化积分表达式。

解题思路：

1. 确定$f(x)$：根据$\dfrac{\sin x}{x}$是$f(x)$的原函数，求导得到$f(x)$。
2. 分部积分：对$\int x^3 f'(x) \, dx$应用分部积分法，将问题转化为更简单的积分。
3. 简化积分：代入$f(x)$的表达式，逐步展开并计算剩余积分。

破题关键：正确应用分部积分法两次，并注意积分过程中代数运算的准确性。

步骤1：求$f(x)$的表达式

已知$\dfrac{\sin x}{x}$是$f(x)$的原函数，因此：
$f(x) = \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)' = \dfrac{x \cos x - \sin x}{x^2}$

步骤2：分部积分法

对$\int x^3 f'(x) \, dx$应用分部积分法：
$\begin{aligned}\int x^3 f'(x) \, dx &= x^3 f(x) - \int f(x) \cdot 3x^2 \, dx \\&= x^3 f(x) - 3 \int x^2 f(x) \, dx\end{aligned}$

步骤3：代入$f(x)$并简化积分

将$f(x) = \dfrac{x \cos x - \sin x}{x^2}$代入：
$\begin{aligned}\int x^2 f(x) \, dx &= \int x^2 \cdot \dfrac{x \cos x - \sin x}{x^2} \, dx \\&= \int (x \cos x - \sin x) \, dx\end{aligned}$

步骤4：计算剩余积分

分别计算$\int x \cos x \, dx$和$\int \sin x \, dx$：

1. $\int x \cos x \, dx$（分部积分）：
   $\begin{aligned} \int x \cos x \, dx &= x \sin x - \int \sin x \, dx \\ &= x \sin x + \cos x \end{aligned}$
2. $\int \sin x \, dx$：
   $\int \sin x \, dx = -\cos x$

因此：
$\int (x \cos x - \sin x) \, dx = x \sin x + \cos x + \cos x = x \sin x + 2 \cos x$

步骤5：组合结果

将所有部分代入原式：
$\begin{aligned}\int x^3 f'(x) \, dx &= x^3 \cdot \dfrac{x \cos x - \sin x}{x^2} - 3(x \sin x + 2 \cos x) + C \\&= x^2 \cos x - x \sin x - 3x \sin x - 6 \cos x + C \\&= x^2 \cos x - 4x \sin x - 6 \cos x + C\end{aligned}$