题目
设是阶方阵，证明( Hint : 用上一题结论 )。
设
是
阶方阵，证明
( Hint : 用上一题结论 )。
题目解答
答案
假设存在
使
且
。
令
，方程两边同乘
，得到
，等式中除了第一项全为
，于是
，又因为，所以
，然后代入第一个等式，得到
，方程两边同乘
，得到
，等式中除了第一项全为，所以
，继续这样做，可以得到
。所以
线性无关，但是这是
个维向量，必定线性相关，矛盾，所以假设不成立，与
同解，即。
解析
步骤 1：假设存在非零向量$x$使得${A}^{n+1}x=0$。
假设存在非零向量$x$使得${A}^{n+1}x=0$，即${A}^{n+1}x=0$且$0\neq x$。这表明$x$是${A}^{n+1}$的零空间中的非零向量。
步骤 2：考虑线性组合${k}_{0}x+{k}_{1}Ax+{k}_{2}{A}^{2}x+\cdots +{k}_{n}{A}^{n}x=0$。
考虑线性组合${k}_{0}x+{k}_{1}Ax+{k}_{2}{A}^{2}x+\cdots +{k}_{n}{A}^{n}x=0$，其中${k}_{0},{k}_{1},\cdots ,{k}_{n}$是实数。方程两边同乘${A}^{n}$，得到${k}_{0}{A}^{n}x+{k}_{1}{A}^{n+1}x+{k}_{2}{A}^{n+2}x+\cdots +{k}_{n}{A}^{2n}x=0$。由于${A}^{n+1}x=0$，所以${A}^{n+1}x={A}^{n+2}x=\cdots ={A}^{2n}x=0$，因此方程简化为${k}_{0}{A}^{n}x=0$。由于$0\neq x$，所以${k}_{0}=0$。
步骤 3：继续考虑线性组合${k}_{1}Ax+{k}_{2}{A}^{2}x+\cdots +{k}_{n}{A}^{n}x=0$。
将${k}_{0}=0$代入原方程，得到${k}_{1}Ax+{k}_{2}{A}^{2}x+\cdots +{k}_{n}{A}^{n}x=0$。方程两边同乘${A}^{n-1}$，得到${k}_{1}{A}^{n}x+{k}_{2}{A}^{n+1}x+\cdots +{k}_{n}{A}^{2n-1}x=0$。由于${A}^{n+1}x=0$，所以${A}^{n+1}x={A}^{n+2}x=\cdots ={A}^{2n-1}x=0$，因此方程简化为${k}_{1}{A}^{n}x=0$。由于$0\neq x$，所以${k}_{1}=0$。继续这样做，可以得到${k}_{2}={k}_{3}=\cdots ={k}_{n}=0$。
步骤 4：得出矛盾，证明假设不成立。
由于${k}_{0}={k}_{1}={k}_{2}=\cdots ={k}_{n}=0$，所以$x,Ax,A^2x,···,A^nx$线性无关。但是这是$n+1$个$n$维向量，必定线性相关，矛盾。所以假设不成立，${A}^{n+1}x=0$与${A}^{n}x=0$同解，即$rank({A}^{n})=rank({A}^{n+1})$。
假设存在非零向量$x$使得${A}^{n+1}x=0$，即${A}^{n+1}x=0$且$0\neq x$。这表明$x$是${A}^{n+1}$的零空间中的非零向量。
步骤 2：考虑线性组合${k}_{0}x+{k}_{1}Ax+{k}_{2}{A}^{2}x+\cdots +{k}_{n}{A}^{n}x=0$。
考虑线性组合${k}_{0}x+{k}_{1}Ax+{k}_{2}{A}^{2}x+\cdots +{k}_{n}{A}^{n}x=0$，其中${k}_{0},{k}_{1},\cdots ,{k}_{n}$是实数。方程两边同乘${A}^{n}$，得到${k}_{0}{A}^{n}x+{k}_{1}{A}^{n+1}x+{k}_{2}{A}^{n+2}x+\cdots +{k}_{n}{A}^{2n}x=0$。由于${A}^{n+1}x=0$，所以${A}^{n+1}x={A}^{n+2}x=\cdots ={A}^{2n}x=0$，因此方程简化为${k}_{0}{A}^{n}x=0$。由于$0\neq x$，所以${k}_{0}=0$。
步骤 3：继续考虑线性组合${k}_{1}Ax+{k}_{2}{A}^{2}x+\cdots +{k}_{n}{A}^{n}x=0$。
将${k}_{0}=0$代入原方程，得到${k}_{1}Ax+{k}_{2}{A}^{2}x+\cdots +{k}_{n}{A}^{n}x=0$。方程两边同乘${A}^{n-1}$，得到${k}_{1}{A}^{n}x+{k}_{2}{A}^{n+1}x+\cdots +{k}_{n}{A}^{2n-1}x=0$。由于${A}^{n+1}x=0$，所以${A}^{n+1}x={A}^{n+2}x=\cdots ={A}^{2n-1}x=0$，因此方程简化为${k}_{1}{A}^{n}x=0$。由于$0\neq x$，所以${k}_{1}=0$。继续这样做，可以得到${k}_{2}={k}_{3}=\cdots ={k}_{n}=0$。
步骤 4：得出矛盾，证明假设不成立。
由于${k}_{0}={k}_{1}={k}_{2}=\cdots ={k}_{n}=0$，所以$x,Ax,A^2x,···,A^nx$线性无关。但是这是$n+1$个$n$维向量，必定线性相关，矛盾。所以假设不成立，${A}^{n+1}x=0$与${A}^{n}x=0$同解，即$rank({A}^{n})=rank({A}^{n+1})$。