计算(int )_(0)^1xarctan xdx.

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及对有理分式的拆分与积分技巧。

解题核心思路：

1. 选择合适的分部积分变量：将$\arctan x$设为$u$，$x dx$设为$dv$，简化后续积分。
2. 处理剩余积分：将$\frac{x^2}{x^2+1}$拆分为$1 - \frac{1}{x^2+1}$，转化为基本积分形式。
3. 代入上下限：注意分部积分后各部分的代数运算和符号处理。

破题关键点：

• 分部积分法的正确应用，确保$u$和$dv$的选择使积分简化。
• 分式拆分技巧，将复杂分式转化为简单可积形式。
• 准确计算定积分的上下限代入，避免符号错误。

分部积分法应用
设$u = \arctan x$，则$du = \frac{1}{1+x^2} dx$；
设$dv = x dx$，则$v = \frac{1}{2}x^2$。
根据分部积分公式：
$\begin{aligned}\int x \arctan x dx &= \frac{1}{2}x^2 \arctan x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{1+x^2} dx \\&= \frac{1}{2}x^2 \arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{x^2+1} dx.\end{aligned}$

分式拆分与积分
将$\frac{x^2}{x^2+1}$拆分为：
$\frac{x^2}{x^2+1} = 1 - \frac{1}{x^2+1}.$
因此，积分变为：
$\int \frac{x^2}{x^2+1} dx = \int 1 dx - \int \frac{1}{x^2+1} dx = x - \arctan x + C.$

代入上下限并计算
原积分定积分形式为：
$\begin{aligned}\int_{0}^{1} x \arctan x dx &= \left. \frac{1}{2}x^2 \arctan x \right|_{0}^{1} - \frac{1}{2} \left[ \left. (x - \arctan x) \right|_{0}^{1} \right] \\&= \frac{1}{2}(1^2 \cdot \frac{\pi}{4} - 0) - \frac{1}{2} \left[ (1 - \frac{\pi}{4}) - (0 - 0) \right] \\&= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) \\&= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} \\&= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}.\end{aligned}$