1.194.设函数 (x)= ,xlt 0 a-1,x=0 {x)^2+b,xgt 0 . 求常数a,b,使得f (x)在定义域内连续.

考查要点：本题主要考查函数连续性的判定及分段函数在分段点处连续的条件。
解题核心思路：函数在某点连续需满足三个条件：函数在该点有定义，左极限与右极限存在且相等，且极限值等于函数值。
破题关键点：

1. 确定分段点：本题中分段点为$x=0$，需保证该点处连续。
2. 计算左右极限：分别求$x \to 0^-$时$\frac{\sin 3x}{x}$的极限和$x \to 0^+$时$x^2 + b$的极限。
3. 联立方程求解：根据连续性条件，令左右极限相等且等于$f(0)$，建立方程求解$a$和$b$。

步骤1：计算$x \to 0^-$时的左极限

当$x \to 0^-$时，$f(x) = \frac{\sin 3x}{x}$。利用重要极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{x} = k$，可得：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin 3x}{x} = 3.$

步骤2：计算$x \to 0^+$时的右极限

当$x \to 0^+$时，$f(x) = x^2 + b$。直接代入$x=0$得：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0^2 + b = b.$

步骤3：保证$f(x)$在$x=0$处连续

根据连续性条件，需满足：

1. 函数在$x=0$处有定义：$f(0) = a - 1$。
2. 左右极限相等：左极限$3$等于右极限$b$，即$b = 3$。
3. 极限值等于函数值：$a - 1 = 3$，解得$a = 4$。