16.设随机变量 sim N(0,1) =(e)^X, 求Y的概率密度函数.

步骤 1：确定随机变量 $X$ 的分布
$X$ 是一个标准正态分布的随机变量，即 $X\sim N(0,1)$。其概率密度函数为：
$$
f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}
$$
步骤 2：确定随机变量 $Y$ 的分布
$Y = e^X$，我们需要找到 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$。首先，我们找到 $Y$ 的累积分布函数 $F_Y(y)$，然后通过求导得到 $f_Y(y)$。
步骤 3：计算 $Y$ 的累积分布函数 $F_Y(y)$
$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(e^X \leq y) = P(X \leq \ln y)$
当 $y > 0$ 时，$F_Y(y) = F_X(\ln y)$，其中 $F_X(x)$ 是 $X$ 的累积分布函数。
步骤 4：计算 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$
$f_Y(y) = \frac{d}{dy}F_Y(y) = \frac{d}{dy}F_X(\ln y) = f_X(\ln y) \cdot \frac{d}{dy}(\ln y)$
代入 $f_X(x)$ 的表达式，得到：
$$
f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\ln y)^2}{2}} \cdot \frac{1}{y}
$$
步骤 5：确定 $f_Y(y)$ 的定义域
当 $y \leq 0$ 时，$f_Y(y) = 0$，因为 $Y = e^X > 0$。